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Compacité, théorème de Heine et théorème de Riesz

Compacité séquentielle, caractérisation par fermé borné en dimension finie, continuité uniforme et échec en dimension infinie

Fils Rouges :Fil 6 — Compacité : forcer l'infini à se comporter comme du fini
Point d'entrée intuitif

Pourquoi une même hypothèse — la compacité — produit-elle simultanément l'existence d'un maximum, la continuité uniforme, l'équivalence des normes et l'extraction de sous-suites, alors que ces énoncés semblent sans rapport ?

Idée en une phrase :
Un compact est un espace dans lequel une infinité de points est obligée de s'accumuler quelque part, faute d'issue.
Généalogie historique du concept :

Le concept se construit en trois temps sur un demi-siècle. Bolzano puis Weierstrass isolent l'extraction de sous-suites vers 1860. Heine démontre en 1872 la continuité uniforme sur un segment, dans le but précis de justifier l'intégrabilité des fonctions continues. Borel (1895) et Lebesgue (1904) dégagent la propriété des recouvrements finis, qui deviendra la définition générale. Fréchet unifie l'ensemble en 1906 sous le nom de compacité. Trois motivations indépendantes, un seul concept.

Pourquoi CETTE définition formelle :

Pourquoi définir la compacité par l'extraction de sous-suites plutôt que par « fermé et borné » ? Parce que la seconde caractérisation est FAUSSE hors de la dimension finie : la boule unité fermée d'un espace de fonctions est fermée et bornée sans être compacte. Fermé et borné est une caractérisation utile mais locale ; l'extraction, elle, est la définition intrinsèque qui se transporte partout.

Images Mentales & Modèles d'Intuition (3)

Modèle #1

Un compact est une pièce sans porte ni fenêtre : une suite de points qui s'y promène ne peut ni sortir par le bord — l'ensemble est fermé — ni s'enfuir à l'infini — il est borné. Elle est condamnée à revenir infiniment souvent au voisinage d'un point.

Ce qu'elle capture :

Les deux échappatoires possibles correspondent exactement aux deux hypothèses, et l'on comprend pourquoi retirer l'une ou l'autre détruit la conclusion.

⚠️ Où l'analogie ment :

L'image suggère qu'une pièce bornée est toujours sans issue. En dimension infinie, il existe une troisième échappatoire, invisible : la suite peut s'enfuir « en dimension », chaque terme s'éloignant de tous les précédents sans jamais sortir de la boule unité. C'est le théorème de Riesz.

Modèle #2

Le théorème de Heine est un contrat renégocié : la continuité ordinaire fournit un différent pour chaque point ; sur un compact, on peut prendre le plus petit de tous et il reste strictement positif.

Ce qu'elle capture :

L'uniformité s'obtient en prenant un minimum sur un compact, exactement comme dans la preuve de l'équivalence des normes : le même mécanisme sert deux fois.

⚠️ Où l'analogie ment :

L'image du « plus petit de tous » n'est pas rigoureuse : il s'agit d'une borne inférieure sur un ensemble infini, qui pourrait être nulle. C'est précisément ce que la compacité interdit, et l'image ne dit pas pourquoi.

Modèle #3

La compacité est un convertisseur : elle transforme une information asymptotique — une suite infinie — en une information ponctuelle — un point d'accumulation.

Ce qu'elle capture :

On comprend pourquoi tous les théorèmes d'existence en découlent : pour prouver qu'un objet optimal existe, on construit une suite qui s'en approche et l'on extrait.

⚠️ Où l'analogie ment :

L'image ne dit pas que le point obtenu n'est pas nécessairement unique ni constructible : la compacité produit une existence purement non effective, et le point d'accumulation dépend de l'extraction choisie.

Les Pièges Conceptuels Classiques

1
Un ensemble fermé et borné est compact.

Correction :

Faux en dimension infinie. La boule unité fermée de l'espace des suites de carré sommable est fermée et bornée, et la suite des vecteurs de base y vérifie pour : aucune sous-suite n'est de Cauchy, donc aucune ne converge. C'est le théorème de Riesz.

2
Continuité et continuité uniforme sont la même chose.

Correction :

Elles diffèrent dès que le domaine n'est pas compact. La fonction est continue sur sans y être uniformément continue : pour un écart fixé entre deux points, l'écart des images croît sans borne. Le théorème de Heine dit exactement que la compacité efface la différence.

3
L'image d'un ouvert par une application continue est un ouvert.

Correction :

Faux : l'image de par la fonction sinus est , qui est fermé. Ce qui se conserve par image directe, c'est la compacité et la connexité ; ce qui se conserve par image RÉCIPROQUE, ce sont les ouverts et les fermés. Confondre les deux sens est l'erreur structurelle du chapitre.

4
Une fonction continue sur un ensemble borné est bornée.

Correction :

La fonction inverse est continue sur , borné mais non fermé, et elle n'est pas bornée. Il faut les DEUX hypothèses : la fermeture empêche de s'échapper par le bord, la bornitude empêche de s'échapper à l'infini.

Glossaire des Notations Mathématiques

delta uniforme

dans la continuité uniforme, $\delta$ ne dépend QUE de $\varepsilon$ : c'est toute la différence avec la continuité simple

extractrice

application strictement croissante de $\mathbb{N}$ dans $\mathbb{N}$, vérifiant $\varphi(k)\ge k$