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L2 • Calcul Différentiel
Approfondissement L2

Calcul différentiel dans , gradient et hessienne

Différentiabilité, dérivées partielles, règle de la chaîne, théorème de Schwarz et classification des points critiques

Fils Rouges :Fil 4 — Approximation locale : remplacer par du linéaire
Point d'entrée intuitif

Pourquoi une fonction peut-elle admettre des dérivées partielles dans toutes les directions sans être différentiable, ni même continue — et que manque-t-il exactement ?

Idée en une phrase :
Être différentiable, ce n'est pas avoir des pentes dans chaque direction : c'est être bien approché par une SEULE application linéaire, uniformément dans toutes les directions à la fois.
Généalogie historique du concept :

Le calcul à plusieurs variables naît de la mécanique et de la thermodynamique au XVIII siècle : Euler et Lagrange manipulent des dérivées partielles sans se soucier de leur cohérence. Le problème de l'ordre des dérivations apparaît avec les équations de la chaleur et des cordes vibrantes, où l'on intervertit librement. Schwarz donne en 1873 la première preuve rigoureuse de l'égalité des dérivées croisées, en identifiant l'hypothèse manquante : la continuité des dérivées secondes. Peano exhibe le contre-exemple qui montre que l'hypothèse est nécessaire.

Pourquoi CETTE définition formelle :

Pourquoi définir la différentiabilité par plutôt que par l'existence des dérivées partielles ? Parce que les dérivées partielles ne testent que directions privilégiées, alors qu'une fonction peut se comporter très mal dans les directions obliques. La définition par approximation linéaire exige un contrôle UNIFORME en toutes les directions, ce qui est exactement ce dont on a besoin pour toutes les applications — et c'est aussi la seule définition qui se généralise aux espaces de Banach.

Images Mentales & Modèles d'Intuition (3)

Modèle #1

La différentielle est le plan tangent : de très près, le graphe d'une fonction différentiable est indiscernable d'un plan.

Ce qu'elle capture :

Le passage de la droite tangente au plan tangent rend visible la généralisation : la dérivée n'est plus un nombre mais une application linéaire, dont le graphe est le plan.

⚠️ Où l'analogie ment :

L'image suggère qu'il suffit que chaque coupe verticale ait une tangente. Faux : la fonction a des dérivées partielles nulles à l'origine, donc des coupes tangentes selon les axes, sans même être continue. Les coupes ne recollent pas en un plan.

Modèle #2

Le gradient est une flèche qui pointe dans la direction de plus forte pente, et sa longueur mesure cette pente.

Ce qu'elle capture :

La dérivée directionnelle est le produit scalaire du gradient par la direction : elle est maximale quand la direction est celle du gradient, nulle dans les directions orthogonales — d'où l'orthogonalité aux lignes de niveau.

⚠️ Où l'analogie ment :

L'image suppose un produit scalaire fixé. Le gradient DÉPEND de ce choix, contrairement à la différentielle qui est intrinsèque. Changer de métrique change le gradient, ce qui est central en géométrie riemannienne et en optimisation préconditionnée.

Modèle #3

La hessienne est la courbure : elle dit si la surface se creuse comme un bol, se bombe comme un dôme, ou se tord comme une selle de cheval.

Ce qu'elle capture :

Le signe des valeurs propres classe le point critique : toutes positives donnent un minimum, toutes négatives un maximum, des signes mixtes un point selle.

⚠️ Où l'analogie ment :

L'image ne dit rien du cas dégénéré, où une valeur propre s'annule. Pour et , la hessienne est nulle à l'origine dans les deux cas, alors que l'une a un minimum et l'autre un point selle. L'ordre ne décide plus.

Les Pièges Conceptuels Classiques

1
L'existence des dérivées partielles entraîne la différentiabilité.

Correction :

Faux, et de manière spectaculaire : la fonction valant hors de l'origine et en l'origine admet des dérivées partielles nulles en tout en n'étant même pas CONTINUE — sa limite le long de la droite vaut . Il faut la continuité des dérivées partielles pour conclure à la différentiabilité.

2
Les dérivées croisées sont toujours égales.

Correction :

Faux sans hypothèse : la fonction de Peano prolongée par vérifie et . Le théorème de Schwarz exige la CONTINUITÉ des dérivées secondes, c'est-à-dire la classe .

3
Un point critique est un extremum.

Correction :

Faux : a un gradient nul en l'origine, qui est un point selle — minimum dans une direction, maximum dans l'autre. En dimension supérieure à , les points selles sont la règle et non l'exception : c'est pourquoi la hessienne est indispensable.

4
Le gradient est la même chose que la différentielle.

Correction :

La différentielle est une FORME LINÉAIRE, objet intrinsèque ; le gradient est le VECTEUR qui la représente via un produit scalaire, et il dépend donc du produit scalaire choisi. Le théorème de représentation de Riesz du module L2-02 établit précisément cette correspondance. En géométrie riemannienne, cette distinction devient essentielle.

Glossaire des Notations Mathématiques

différentielle en a

FORME linéaire, objet intrinsèque indépendant de tout produit scalaire

gradient en a

VECTEUR représentant la différentielle via le produit scalaire ; dépend de ce dernier

hessienne

matrice symétrique des dérivées secondes ; le signe de son spectre classe les points critiques