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Mesure, intégrale de Lebesgue et convergence dominée

Tribus et mesures, fonctions mesurables, intégrale par étagées, convergence monotone et dominée, Fubini-Tonelli

Fils Rouges :Fil 8 — Le droit d'intervertir deux limites
Point d'entrée intuitif

Pourquoi une intégrale peut-elle échouer à passer à la limite alors que les fonctions convergent en chaque point — et qu'est-ce qui, exactement, permet de rétablir l'échange ?

Idée en une phrase :
En découpant l'image plutôt que le domaine, on obtient une intégrale dont les théorèmes de convergence n'exigent plus l'uniformité, mais une simple domination ponctuelle.
Généalogie historique du concept :

Riemann formalise son intégrale en 1854. Les difficultés apparaissent avec les séries de Fourier : les limites de fonctions intégrables cessent parfois de l'être, et les théorèmes d'interversion exigent des hypothèses inconfortables. Borel introduit en 1898 la mesure des ensembles, Lebesgue construit son intégrale en 1902 dans sa thèse. Il résume lui-même le renversement : pour compter une somme de pièces, on peut les prendre dans l'ordre où elles se présentent — Riemann — ou les trier d'abord par valeur puis compter chaque tas — Lebesgue.

Pourquoi CETTE définition formelle :

Pourquoi définir d'abord une TRIBU, plutôt que de mesurer toutes les parties ? Parce que c'est impossible : Vitali construit en 1905, avec l'axiome du choix, une partie de à laquelle aucune mesure invariante par translation ne peut attribuer de valeur. On est donc contraint de restreindre le domaine de définition, et la stabilité par réunion DÉNOMBRABLE est exactement ce qu'exigent les théorèmes de convergence.

Images Mentales & Modèles d'Intuition (3)

Modèle #1

Riemann compte des pièces dans l'ordre où elles arrivent ; Lebesgue les trie d'abord par valeur, puis compte chaque tas et multiplie.

Ce qu'elle capture :

Le découpage de l'IMAGE plutôt que du domaine : les ensembles de niveau peuvent être compliqués, mais leur mesure suffit — leur forme n'importe pas.

⚠️ Où l'analogie ment :

L'image suggère que Lebesgue est simplement plus efficace. En réalité les deux intégrales COÏNCIDENT là où Riemann existe : le gain n'est pas la valeur, c'est la stabilité par passage à la limite et l'extension à des fonctions bien plus irrégulières.

Modèle #2

Une mesure est une masse répartie : elle attribue un poids à chaque partie mesurable, additivement.

Ce qu'elle capture :

La sigma-additivité — additivité sur les réunions dénombrables disjointes — est exactement ce qui permet de passer à la limite dans les découpages.

⚠️ Où l'analogie ment :

L'image suggère qu'on peut peser n'importe quoi. Faux : l'ensemble de Vitali n'a aucune mesure possible. La tribu n'est pas une commodité technique, c'est une nécessité logique.

Modèle #3

La convergence dominée est un chapeau : si toutes les fonctions restent sous une même fonction intégrable, aucune masse ne peut s'échapper à l'infini.

Ce qu'elle capture :

Le contre-exemple typique est une bosse qui glisse ou qui s'amincit en grandissant : la domination interdit exactement ce comportement.

⚠️ Où l'analogie ment :

L'image ne dit pas que le chapeau doit être INTÉGRABLE et INDÉPENDANT de . Une domination par une fonction non intégrable, ou par une fonction variable, ne conclut rien.

Les Pièges Conceptuels Classiques

1
L'intégrale de Lebesgue donne des valeurs différentes de celle de Riemann.

Correction :

Elles COÏNCIDENT sur toute fonction Riemann-intégrable. Lebesgue étend le domaine — l'indicatrice des rationnels devient intégrable, d'intégrale nulle — et surtout stabilise les passages à la limite. Le gain est de nature, pas de valeur.

2
Toute partie de est mesurable.

Correction :

Faux : l'ensemble de Vitali, construit en choisissant un représentant dans chaque classe de , n'est mesurable pour aucune mesure invariante par translation. Sa construction exige l'axiome du choix, et c'est pourquoi de tels ensembles ne s'exhibent jamais explicitement.

3
La convergence simple suffit à intervertir limite et intégrale.

Correction :

Faux sans domination. Les fonctions convergent simplement vers alors que chaque intégrale vaut : la masse s'échappe en s'amincissant. C'est exactement ce que la domination interdit.

4
Fubini s'applique dès que les intégrales itérées existent.

Correction :

Il exige l'intégrabilité de la VALEUR ABSOLUE — condition que Tonelli permet justement de vérifier, en s'appliquant sans hypothèse aux fonctions positives. Le contre-exemple du module L1-15, avec ses itérées valant , montre que l'existence ne suffit jamais.

Glossaire des Notations Mathématiques

tribu

domaine de définition de la mesure ; stable par réunion DÉNOMBRABLE, jamais quelconque

intégrale de f

définie par approximation par des étagées, en découpant l'IMAGE

p.p.

presque partout

hors d'un ensemble de mesure nulle ; l'intégrale ne voit pas ces ensembles