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Espaces de Hilbert, projection et théorème de Riesz

Projection sur un convexe fermé, supplémentaire orthogonal, théorème de représentation de Riesz, bases hilbertiennes et Parseval

Fils Rouges :Fil 3 — Linéarité et décompositionFil 7 — Orthogonalité : mesurer, projeter, approcher au mieux
Point d'entrée intuitif

Quelle propriété exactement permet à la géométrie euclidienne de survivre en dimension infinie — et pourquoi une base hilbertienne n'est-elle presque jamais une base au sens algébrique ?

Idée en une phrase :
La complétude garantit l'existence du projeté orthogonal, et de ce seul théorème découlent le supplémentaire orthogonal, la représentation des formes linéaires et les bases hilbertiennes.
Généalogie historique du concept :

Hilbert étudie vers 1904 les équations intégrales et introduit l'espace des suites de carré sommable. Schmidt formalise en 1908 le point de vue géométrique — orthogonalité, projection —, et Riesz démontre en 1907 son théorème de représentation. Von Neumann axiomatise en 1929 la notion d'espace de Hilbert, précisément pour fonder la mécanique quantique : les états y sont des vecteurs unitaires, les observables des opérateurs autoadjoints, et la mesure une projection orthogonale. Rarement une structure mathématique aura trouvé une interprétation physique aussi directe.

Pourquoi CETTE définition formelle :

Pourquoi exiger la COMPLÉTUDE dans la définition, alors que le produit scalaire suffit à définir orthogonalité et projection ? Parce que sans elle, le projeté orthogonal peut ne pas exister : la suite minimisante est de Cauchy — c'est l'identité de la médiane qui le donne — mais sa limite peut manquer. Toute la théorie repose sur ce seul théorème d'existence, et la complétude est exactement ce qui le garantit.

Images Mentales & Modèles d'Intuition (3)

Modèle #1

Projeter sur un convexe fermé, c'est trouver le point le plus proche : il existe, il est unique, et l'angle qu'il forme avec les autres points du convexe est toujours obtus.

Ce qu'elle capture :

La caractérisation variationnelle par une inégalité d'angle est ce qui rend la projection calculable : elle transforme un problème de minimisation en une condition ponctuelle.

⚠️ Où l'analogie ment :

L'image suggère que le point le plus proche existe toujours. Faux sans complétude, et faux sans convexité : sur un cercle, un point du centre n'a aucun point le plus proche unique. Les deux hypothèses sont indispensables.

Modèle #2

Le théorème de Riesz dit que toute forme linéaire continue est un produit scalaire déguisé : mesurer, c'est projeter sur une direction.

Ce qu'elle capture :

L'identification de l'espace à son dual devient géométrique : à chaque forme correspond une direction, et sa norme est la longueur de cette direction.

⚠️ Où l'analogie ment :

L'image ne dit pas que la CONTINUITÉ est indispensable. En dimension infinie, il existe des formes linéaires discontinues — construites par Hahn-Banach — qui ne sont représentées par aucun vecteur.

Modèle #3

Une base hilbertienne est un système d'axes orthonormés en nombre infini : chaque vecteur s'écrit comme une SÉRIE de ses coordonnées.

Ce qu'elle capture :

Parseval devient Pythagore : la norme au carré est la somme des carrés des coordonnées, exactement comme en dimension finie.

⚠️ Où l'analogie ment :

L'image suggère qu'il s'agit d'une base au sens algébrique. C'est faux : une base hilbertienne n'engendre l'espace que par SÉRIES, non par combinaisons finies. Le module L3-05 a d'ailleurs montré qu'aucun Banach de dimension infinie n'a de base algébrique dénombrable.

Les Pièges Conceptuels Classiques

1
Une base hilbertienne est une base algébrique.

Correction :

Faux. La famille trigonométrique est une base hilbertienne de , mais aucune fonction non polynomiale trigonométrique n'est combinaison FINIE de ses éléments. Une base hilbertienne engendre par séries, et le module L3-05 a établi qu'une base algébrique d'un Banach de dimension infinie n'est jamais dénombrable.

2
Tout sous-espace admet un supplémentaire orthogonal.

Correction :

Il faut que le sous-espace soit FERMÉ. Le sous-espace des suites à support fini dans l'espace des suites de carré sommable est dense : son orthogonal est réduit à zéro, et la somme des deux ne donne pas l'espace. La fermeture est exactement ce qui garantit l'existence du projeté.

3
Toute forme linéaire est continue.

Correction :

Faux en dimension infinie. Sur l'espace des polynômes muni de la norme de la convergence uniforme, la forme est linéaire et discontinue : les polynômes tendent uniformément vers zéro alors que leurs dérivées en zéro valent . Le théorème de Riesz ne concerne QUE les formes continues.

4
Une famille orthonormale est une base hilbertienne.

Correction :

Il faut de plus qu'elle soit TOTALE, c'est-à-dire d'espace engendré dense. La famille des cosinus seuls est orthonormale dans sans être totale : elle ne permet de représenter que les fonctions paires. L'orthonormalité seule ne donne que l'inégalité de Bessel, jamais Parseval.

Glossaire des Notations Mathématiques

projeté de x sur C

point le plus proche ; existe et est unique pour $C$ convexe FERMÉ

orthogonal de F

toujours fermé, même si $F$ ne l'est pas ; on a $\left(F^{\perp}\right)^{\perp}=\overline{F}$

développement hilbertien

SÉRIE, non combinaison finie : c'est ce qui distingue base hilbertienne et base algébrique