Le langage formel et le jeu des quantificateurs
Pourquoi « tout être humain a une mère » est-il vrai, alors que « il existe une femme qui est la mère de tout être humain » est faux — alors que les deux phrases contiennent exactement les mêmes mots ?
Au XVIII siècle, les mathématiciens raisonnaient en français, et se trompaient. Cauchy lui-même « démontre » en 1821 que la limite simple d'une suite de fonctions continues est continue : c'est faux, et l'erreur tient entièrement à une inversion de quantificateurs restée invisible pendant vingt ans. La formalisation par Frege (1879) puis Peano n'est donc pas un caprice de notation : c'est la réponse à une crise où les meilleurs mathématiciens du monde ne savaient plus distinguer le vrai du faux.
On aimerait définir par « cause ». Cette définition est inutilisable : elle exige de savoir ce qu'est une cause, notion étrangère aux mathématiques. On retient donc la seule définition rendant la déduction mécanique : est faux dans un unique cas, celui où est vrai et faux, c'est-à-dire
Images Mentales & Modèles d'Intuition (3)
Un duel à deux joueurs. Le Prouveur veut établir la phrase, le Sceptique veut la détruire. À chaque , c'est le Sceptique qui choisit l'objet, et il choisit le pire. À chaque , c'est le Prouveur qui choisit, et il choisit le meilleur. La phrase est vraie si le Prouveur possède une stratégie gagnante.
Ce qu'elle capture :
L'image suggère un jeu fini. Or les ensembles quantifiés sont en général infinis : aucune procédure ne permet de jouer réellement tous les coups. La vérité mathématique n'est pas une victoire effective, seulement l'existence d'une stratégie.
L'implication comme contrat de garantie : « si l'appareil tombe en panne dans l'année, nous le remplaçons ».
Ce qu'elle capture :
Un contrat réel suppose un lien de sens entre la panne et le remplacement. L'implication mathématique n'en suppose aucun : elle relie sans difficulté deux énoncés totalement étrangers.
La négation comme franchissement de barrage : traverse la file des quantificateurs de gauche à droite et retourne chacun sur son passage.
Ce qu'elle capture :
Le noyau final, lui, exige une vraie négation mathématique : est , et non . C'est là que naissent 90 % des erreurs, et l'image ne le signale pas.
Les Pièges Conceptuels Classiques
Correction :
Correction :
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Glossaire des Notations Mathématiques
pour tout
quantificateur universel ; c'est l'adversaire qui choisit l'objet, donc il choisit le pire
il existe
quantificateur existentiel ; c'est à vous de fournir l'objet, explicitement
il existe un unique
existence et unicité : deux preuves à produire, presque jamais par le même argument
implique
faux uniquement si la prémisse est vraie et la conclusion fausse
non
négation ; traverse les quantificateurs en les inversant