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L1 • Analyse Réelle
Fondation L1

Suites réelles, Bolzano-Weierstrass et suites de Cauchy

Convergence -, valeurs d'adhérence, extraction par dichotomie et complétude de

Fils Rouges :Fil 6 — Compacité : forcer l'infini à se comporter comme du fini
Point d'entrée intuitif

Une suite bornée peut osciller éternellement sans jamais se stabiliser. Pourquoi est-elle malgré tout contrainte de s'accumuler autour d'au moins un point — et pourquoi cette contrainte disparaît-elle si l'on retire la bornitude ?

Idée en une phrase :
Une infinité de points enfermés dans un espace fini finit toujours par s'entasser quelque part : c'est le principe des tiroirs, transposé au continu.
Généalogie historique du concept :

Bolzano démontre le résultat en 1817, dans un mémoire visant à donner une preuve « purement analytique » du théorème des valeurs intermédiaires, sans recourir à l'intuition géométrique. Son texte reste ignoré pendant cinquante ans. Weierstrass le redécouvre et l'enseigne à Berlin dans les années 1860, au moment où il entreprend d'expulser l'intuition de l'analyse : c'est lui qui impose la définition en - que nous utilisons encore. Le déclencheur historique est donc un souci de PURETÉ logique, non un besoin de calcul.

Pourquoi CETTE définition formelle :

Pourquoi définir la convergence par « pour tout , il existe un rang » plutôt que par « la suite se rapproche indéfiniment » ? Parce que la seconde formulation est inutilisable : « se rapprocher » n'est pas une relation vérifiable. La définition de Weierstrass transforme une intuition dynamique en un énoncé statique, à deux quantificateurs, sur lequel on peut raisonner mécaniquement. C'est le prix payé pour la rigueur, et c'est ce qui rend les preuves d'analyse si déroutantes au début.

Images Mentales & Modèles d'Intuition (3)

Modèle #1

La dichotomie est une chasse : on enferme la proie dans une boîte, on coupe la boîte en deux, et l'on garde la moitié qui contient encore une infinité de termes. En répétant, la boîte se referme sur un point unique.

Ce qu'elle capture :

À chaque étape, au moins une des deux moitiés contient une infinité d'indices — sinon leur réunion en contiendrait un nombre fini, ce qui est absurde. La longueur étant divisée par deux, l'étau se referme géométriquement.

⚠️ Où l'analogie ment :

L'image suggère qu'on capture LA limite de la suite. On ne capture qu'une valeur d'adhérence : la suite possède deux points d'accumulation, et la dichotomie n'en trouve qu'un, selon les choix faits en cours de route.

Modèle #2

Une suite de Cauchy est un peloton de coureurs qui se resserre : passé un certain temps, plus aucun coureur n'est loin d'un autre — sans qu'on sache où se trouve la ligne d'arrivée.

Ce qu'elle capture :

Le critère de Cauchy est INTERNE : il ne mentionne pas la limite. C'est exactement ce qui le rend utilisable quand on ignore la limite, ou quand elle n'existe pas dans l'ensemble considéré.

⚠️ Où l'analogie ment :

L'image suggère que le peloton finit forcément quelque part. C'est vrai dans et faux dans : la suite des approximations décimales de est de Cauchy dans et n'y converge pas. Le peloton se resserre autour d'un trou.

Modèle #3

Une valeur d'adhérence est une station où la suite repasse infiniment souvent, même si elle ne s'y arrête jamais.

Ce qu'elle capture :

La différence entre limite et valeur d'adhérence devient claire : la limite exige que TOUS les termes finissent par rester près ; la valeur d'adhérence n'exige qu'un passage infiniment répété.

⚠️ Où l'analogie ment :

L'image ne dit pas qu'une suite peut avoir une infinité de valeurs d'adhérence, ni que l'ensemble de ces valeurs peut être tout entier — c'est le cas d'une énumération des rationnels.

Les Pièges Conceptuels Classiques

1
Une suite bornée converge.

Correction :

est bornée et divergente. La bornitude ne garantit qu'une VALEUR D'ADHÉRENCE, par Bolzano-Weierstrass. Pour la convergence, il faut ajouter la monotonie, ou l'unicité de la valeur d'adhérence.

2
Si , alors la suite converge.

Correction :

Faux, et le contre-exemple est décisif : vérifie et diverge vers l'infini ; également. Le critère de Cauchy exige le contrôle de pour TOUS les couples au-delà du rang, pas seulement pour les couples consécutifs.

3
Toute suite admet une limite dans la droite achevée, donc converge ou tend vers l'infini.

Correction :

ne converge pas et ne tend ni vers ni vers . La trichotomie « converge, tend vers , tend vers » n'est valable que pour les suites MONOTONES.

4
Si une sous-suite converge vers , alors la suite converge vers .

Correction :

L'implication ne va que dans un sens : toute sous-suite d'une suite convergente converge vers la même limite, mais l'existence d'une sous-suite convergente ne dit rien. En revanche, si les sous-suites paire et impaire convergent vers la MÊME limite, alors la suite converge : c'est un critère utile, car ces deux sous-suites recouvrent tous les indices.

Glossaire des Notations Mathématiques

extractrice

application strictement croissante de $\mathbb{N}$ dans $\mathbb{N}$ ; l'inégalité $\varphi(k)\ge k$ est l'outil de travail, à redémontrer par récurrence

,

limite inférieure, limite supérieure

plus petite et plus grande valeur d'adhérence ; existent toujours pour une suite bornée