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L1 • Analyse Réelle
Fondation L1

Continuité, théorème des valeurs intermédiaires et théorème de Weierstrass

Définition -, caractérisation séquentielle, TVI par dichotomie, bornes atteintes sur un segment et théorème de la bijection

Point d'entrée intuitif

Pourquoi une fonction continue sur un segment ne peut-elle ni sauter par-dessus une valeur, ni s'échapper vers l'infini, ni frôler son maximum sans jamais l'atteindre — alors qu'elle le peut sur un intervalle ouvert ?

Idée en une phrase :
La continuité interdit les sauts, et la compacité du segment interdit les fuites : ensemble, elles obligent la fonction à réaliser tout ce qu'elle approche.
Généalogie historique du concept :

Le théorème des valeurs intermédiaires est utilisé sans preuve pendant des siècles : il paraît évident qu'une courbe tracée sans lever le crayon coupe l'axe si elle change de signe. Bolzano publie en 1817 un mémoire dont le titre annonce le programme : donner une preuve PUREMENT ANALYTIQUE, sans recours au dessin. Il découvre alors qu'il lui manque une chose : une définition rigoureuse des réels. La preuve complète devra attendre Dedekind, en 1872. Le TVI est donc le théorème qui a forcé la construction de .

Pourquoi CETTE définition formelle :

Pourquoi la définition en - plutôt que « on peut tracer la courbe sans lever le crayon » ? Parce que cette dernière est indémontrable et surtout fausse comme critère : la fonction valant prolongée par est continue en alors que sa courbe oscille infiniment près de l'origine, et la fonction de Weierstrass est continue partout sans être dérivable nulle part — aucun crayon ne peut la tracer. L'intuition graphique échoue précisément là où l'analyse devient intéressante.

Images Mentales & Modèles d'Intuition (3)

Modèle #1

Un contrat de précision : le client exige une tolérance sur la sortie ; l'ingénieur doit répondre par une tolérance sur l'entrée. La fonction est continue si l'ingénieur peut toujours répondre.

Ce qu'elle capture :

L'ordre des quantificateurs devient une négociation : le client parle en premier, l'ingénieur s'adapte. C'est exactement , et le a le droit de dépendre de et du point.

⚠️ Où l'analogie ment :

L'image ne distingue pas continuité et continuité UNIFORME. Si l'ingénieur doit fournir un valable pour tous les points de la machine à la fois, l'exigence est bien plus forte. C'est la différence que le théorème de Heine résoudra en L2, grâce à la compacité.

Modèle #2

Le TVI est une chasse par dichotomie : on sait que la racine est dans un intervalle, on regarde le milieu, et l'on garde la moitié où le changement de signe persiste.

Ce qu'elle capture :

La preuve est un ALGORITHME : chaque étape divise l'incertitude par deux, et l'on obtient une méthode effective de calcul de racine, avec contrôle d'erreur explicite.

⚠️ Où l'analogie ment :

L'image suggère l'unicité de la racine. Le TVI n'en donne aucune : change de signe et possède une infinité de zéros. L'unicité exige une hypothèse supplémentaire de stricte monotonie.

Modèle #3

Weierstrass est un piège : la fonction ne peut ni monter à l'infini (elle est bornée), ni s'approcher de son maximum sans le toucher (elle l'atteint), parce que le segment ne lui laisse aucune issue.

Ce qu'elle capture :

Les deux échappatoires possibles sont exactement celles que le segment ferme : partir vers l'infini nécessiterait un domaine non borné, frôler sans atteindre nécessiterait un bord ouvert.

⚠️ Où l'analogie ment :

L'image ne dit pas OÙ le maximum est atteint, ni combien de fois. Le théorème est purement existentiel : il ne fournit aucun algorithme, contrairement au TVI.

Les Pièges Conceptuels Classiques

1
Le TVI donne l'unicité de la racine.

Correction :

Le TVI ne donne QUE l'existence. Pour l'unicité, il faut la stricte monotonie. Sur , la fonction sinus change de signe et possède trois zéros. Réflexe de rédaction : « il existe au moins un », et jamais « le ».

2
Une fonction continue sur un intervalle est bornée.

Correction :

est continue sur et non bornée ; est continue sur et non bornée. Il faut les deux hypothèses : sans fermeture on peut exploser au bord, sans bornitude on peut partir à l'infini.

3
L'image d'un intervalle ouvert par une fonction continue est un intervalle ouvert.

Correction :

Faux : l'image de par est , qui n'est pas ouvert. Ce qui se conserve, c'est le caractère d'INTERVALLE (par connexité) et la compacité (segment vers segment), jamais l'ouverture. Une application continue n'est pas une application ouverte.

4
Si est continue et bijective, sa réciproque est automatiquement continue.

Correction :

C'est vrai sur un INTERVALLE, et c'est un théorème non trivial. Le résultat tombe en général : l'application de vers le cercle unité qui à associe le point d'angle est continue et bijective, de réciproque discontinue au point de recollement. La topologie du domaine est déterminante.

Glossaire des Notations Mathématiques

fonctions continues sur I

espace vectoriel, stable par produit et par composition

delta dépendant de epsilon et du point

notation à conserver au brouillon : si $\delta$ ne dépend pas de $a$, la continuité est uniforme