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L1 • Analyse Réelle
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Dérivabilité, théorème de Rolle et accroissements finis

Approximation affine, lemme de Fermat, théorème de Rolle, égalité et inégalité des accroissements finis

Fils Rouges :Fil 4 — Approximation locale : remplacer par du linéaire
Point d'entrée intuitif

Comment une information ponctuelle, la pente en un seul point, peut-elle contrôler le comportement de la fonction sur tout un intervalle — et pourquoi ce miracle disparaît-il dès qu'on passe aux fonctions à valeurs vectorielles ?

Idée en une phrase :
Sur un trajet, la vitesse moyenne est nécessairement atteinte comme vitesse instantanée à un instant au moins : c'est cela, le théorème des accroissements finis.
Généalogie historique du concept :

Michel Rolle publie son théorème en 1691 dans un contexte inattendu : il est un adversaire déclaré du calcul infinitésimal, qu'il juge fondé sur des raisonnements douteux, et son énoncé concerne les seules fonctions polynomiales, traitées algébriquement. Lagrange en donne la version générale en 1797, dans sa Théorie des fonctions analytiques, où il tente de fonder le calcul différentiel sans recourir aux infiniment petits. La rigueur définitive vient de Cauchy dans les années 1820, une fois Weierstrass et la borne supérieure disponibles.

Pourquoi CETTE définition formelle :

Pourquoi définir la dérivée comme limite du taux d'accroissement plutôt que comme « pente de la tangente » ? Parce que la tangente n'est pas définie avant la dérivée : la définir par la pente serait circulaire. La formulation équivalente est encore plus éclairante, car elle dit exactement ce qu'est la dérivée : le COEFFICIENT de la meilleure approximation affine. C'est cette version, et non le quotient, qui se généralise à plusieurs variables et aux espaces de Banach.

Images Mentales & Modèles d'Intuition (3)

Modèle #1

Le TAF est un contrôle radar : si vous avez parcouru kilomètres en deux heures, il existe forcément un instant où votre compteur affichait exactement kilomètres par heure.

Ce qu'elle capture :

Le lien entre moyenne globale et valeur instantanée devient évident, et l'on comprend que le théorème ne dit RIEN sur la localisation de cet instant : il affirme son existence, pas sa position.

⚠️ Où l'analogie ment :

L'image échoue en dimension supérieure. Un mobile parcourant un cercle complet en une heure a une vitesse moyenne NULLE, sans jamais s'arrêter. L'égalité des accroissements finis est fausse pour les fonctions à valeurs vectorielles : seule l'inégalité survit.

Modèle #2

Rolle est un lancer de balle : si la balle part et retombe à la même hauteur, il y a un instant où elle est immobile verticalement, au sommet de sa trajectoire.

Ce qu'elle capture :

Le sommet est un extremum intérieur, et c'est exactement là que la dérivée s'annule : le lemme de Fermat est visuellement transparent.

⚠️ Où l'analogie ment :

L'image suppose une trajectoire lisse. Pour sur , les deux extrémités valent , l'extremum intérieur existe bien en , mais la dérivée n'y existe pas : le sommet est un point anguleux. Une seule non-dérivabilité suffit à ruiner Rolle.

Modèle #3

Lagrange incline le repère : le TAF est le théorème de Rolle appliqué après avoir soustrait la corde, c'est-à-dire après avoir penché la figure jusqu'à ce que les deux extrémités soient à la même hauteur.

Ce qu'elle capture :

Les deux théorèmes ne sont qu'un seul, vu sous deux angles. La fonction auxiliaire de Lagrange n'est pas une astuce : c'est un changement de point de vue géométrique.

⚠️ Où l'analogie ment :

L'image ne dit pas que ce redressement n'a plus de sens pour une courbe dans l'espace : on ne peut pas « incliner » un chemin plan pour ramener ses extrémités à la même hauteur dans toutes les coordonnées à la fois. C'est exactement pourquoi l'égalité tombe en dimension supérieure.

Les Pièges Conceptuels Classiques

1
Si , alors est un extremum.

Correction :

Faux : vérifie sans que soit un extremum, la fonction étant strictement croissante. Le lemme de Fermat ne va que dans un sens : extremum intérieur plus dérivabilité implique dérivée nulle. Un point critique n'est qu'un CANDIDAT.

2
Le TAF donne un que l'on peut localiser ou calculer.

Correction :

Le est totalement inconnu, et c'est précisément ce qui rend le théorème utile : on ne l'utilise jamais pour calculer, toujours pour MAJORER. L'inégalité des accroissements finis, où a disparu au profit d'un de la dérivée, est la forme réellement employée.

3
Une fonction de dérivée nulle est constante.

Correction :

Il faut impérativement que le domaine soit un INTERVALLE. Sur , la fonction valant pour et pour a une dérivée identiquement nulle sans être constante. La connexité du domaine est l'hypothèse cachée, et c'est le TAF qui l'utilise.

4
Si existe partout, alors est continue.

Correction :

Faux : prolongée par est dérivable partout, mais n'a pas de limite en . En revanche — et c'est remarquable — une dérivée vérifie toujours le théorème des valeurs intermédiaires, même discontinue : c'est le théorème de Darboux. Une dérivée ne peut donc pas avoir de discontinuité de saut.

Glossaire des Notations Mathématiques

dérivée en a

coefficient de la meilleure approximation affine de $f$ au voisinage de $a$

petit o de h

quantité dont le rapport à $h$ tend vers $0$ ; contient toute l'information d'approximation

un point intérieur

dans le TAF, ce point est inconnu et non localisable : il ne sert qu'à majorer