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L1 • Analyse Réelle
Fondation L1

Développements limités, formules de Taylor et équivalents

Taylor-Young, Taylor-Lagrange, reste intégral, négligeabilité et levée des formes indéterminées

Fils Rouges :Fil 4 — Approximation locale : remplacer par du linéaireFil 8 — Le droit d'intervertir deux limites
Point d'entrée intuitif

La dérivée remplace une fonction par une droite. Que gagne-t-on à la remplacer par une parabole, puis par un polynôme de degré — et jusqu'où peut-on pousser avant que l'approximation cesse d'être fiable ?

Idée en une phrase :
Un développement limité est une photographie du comportement local d'une fonction, prise avec une résolution que l'on choisit soi-même.
Généalogie historique du concept :

Brook Taylor publie sa formule en 1715, sans aucune considération de convergence ni de reste : pour lui comme pour ses contemporains, une fonction EST sa série. Le XVIII siècle calcule ainsi avec un succès considérable et sans justification. La crise éclate quand Cauchy exhibe en 1823 la fonction valant prolongée par : toutes ses dérivées sont nulles en , sa série de Taylor est identiquement nulle, et pourtant la fonction ne l'est pas. La série de Taylor converge parfaitement, vers une autre fonction. Il devient alors indispensable de contrôler le RESTE, et non plus seulement les coefficients.

Pourquoi CETTE définition formelle :

Pourquoi écrire le reste sous la forme plutôt que de donner sa valeur exacte ? Parce qu'il existe trois formules de Taylor, correspondant à trois besoins distincts. Taylor-Young donne un reste qualitatif, suffisant pour calculer une limite, et n'exige que la dérivabilité à l'ordre en un seul point. Taylor-Lagrange donne un reste explicite mais en un point inconnu, ce qui permet de MAJORER l'erreur. Taylor avec reste intégral donne le reste exact, ce qui permet de le manipuler. Choisir la bonne version est la moitié du travail.

Images Mentales & Modèles d'Intuition (3)

Modèle #1

Un développement limité est une série de photographies de plus en plus nettes : l'ordre voit un point, l'ordre voit une pente, l'ordre voit une courbure, et ainsi de suite.

Ce qu'elle capture :

Chaque terme supplémentaire capte un aspect géométrique nouveau, et le reste mesure ce que la photographie n'a pas encore résolu.

⚠️ Où l'analogie ment :

L'image suggère que la netteté croît indéfiniment jusqu'à reproduire la fonction. C'est faux : la fonction de Cauchy possède des photographies parfaitement nettes à tout ordre, toutes identiquement nulles, et pourtant elle n'est pas nulle. La résolution n'est LOCALE qu'au voisinage du point, et ne dit rien ailleurs.

Modèle #2

Le symbole est une poubelle à ordures étiquetée : on y jette tout ce qui est négligeable devant , sans jamais avoir à le regarder.

Ce qu'elle capture :

Les règles de calcul deviennent mécaniques : , et . La poubelle absorbe tout ce qui est plus petit.

⚠️ Où l'analogie ment :

L'image fait oublier que n'est pas UN objet mais une CLASSE : deux occurrences du symbole dans un même calcul désignent des fonctions différentes. Écrire est donc une faute grave, alors que est correct.

Modèle #3

Les équivalents sont une loupe qui ne garde que le terme dominant : c'est un DL à l'ordre le plus bas non nul.

Ce qu'elle capture :

On comprend pourquoi les équivalents se multiplient et se divisent sans problème : le terme dominant d'un produit est le produit des termes dominants.

⚠️ Où l'analogie ment :

L'image explique aussi pourquoi ils ne s'ADDITIONNENT pas : si les termes dominants s'annulent mutuellement, la loupe ne voit plus rien et le résultat est faux. C'est l'erreur la plus fréquente de toute la L1, et le développement limité est le seul remède.

Les Pièges Conceptuels Classiques

1
On peut additionner des équivalents.

Correction :

Contre-exemple décisif en : et . En additionnant, on obtiendrait , ce qui n'a aucun sens. Le calcul par DL donne , donc . Dès qu'une soustraction menace d'annuler les termes dominants, il faut passer aux DL.

2
Une fonction est égale à sa série de Taylor.

Correction :

Faux : la fonction valant pour et en est de classe , toutes ses dérivées sont nulles en , donc sa série de Taylor est la série nulle. Elle converge partout, mais vers la fonction nulle, qui n'est pas . Les fonctions égales à leur série sont dites ANALYTIQUES, et ce n'est pas le cas de toutes les fonctions infiniment dérivables.

3
On peut dériver un développement limité terme à terme.

Correction :

L'intégration d'un DL est licite, la dérivation ne l'est pas. Contre-exemple : admet un DL à l'ordre en , à savoir , alors que n'admet aucun DL à l'ordre — elle oscille. La dérivation détruit l'information, l'intégration la lisse. C'est un premier contact avec le fil rouge de l'interversion des limites.

4
Un DL d'ordre existe dès que la fonction est fois dérivable au point.

Correction :

C'est vrai, et c'est précisément ce que dit Taylor-Young. Mais la réciproque est fausse et c'est là que se loge l'erreur : l'existence d'un DL à l'ordre n'entraîne PAS la dérivabilité à l'ordre . La fonction admet un DL à l'ordre sans être deux fois dérivable en . Seul l'ordre fait exception : DL d'ordre et dérivabilité sont équivalents.

Glossaire des Notations Mathématiques

petit o de x puissance n

désigne une CLASSE de fonctions, non une fonction : deux occurrences dans un même calcul sont des objets différents

est équivalent à

se multiplie, se divise, s'élève à une puissance ; ne s'additionne JAMAIS et ne se compose pas

polynôme de Taylor d'ordre n

unique polynôme de degré au plus $n$ approchant $f$ à l'ordre $n$