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L1 • Analyse Réelle
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Intégration de Riemann et théorème fondamental de l'analyse

Sommes de Darboux, intégrabilité des fonctions continues, primitives, intégration par parties, changement de variable et sommes de Riemann

Point d'entrée intuitif

Pourquoi le calcul d'une aire — problème géométrique connu des Grecs — se ramène-t-il exactement à l'inversion de la dérivation, problème né deux mille ans plus tard et qui n'a rien à voir en apparence ?

Idée en une phrase :
L'aire accumulée sous une courbe croît, à chaque instant, à la vitesse donnée par la hauteur de la courbe : voilà tout le théorème fondamental.
Généalogie historique du concept :

Archimède calcule l'aire sous une parabole vers av. J.-C. par la méthode d'exhaustion, essentiellement une somme de Riemann. Pendant dix-huit siècles, chaque aire nouvelle exige une astuce nouvelle. Barrow, professeur de Newton, remarque le premier vers 1670 le lien avec les tangentes ; Newton et Leibniz en font une méthode systématique, ce qui transforme un ensemble de problèmes insolubles en un catalogue de primitives. Riemann donne en 1854 la définition rigoureuse par sommes encadrantes, dans son mémoire d'habilitation — et découvre au passage des fonctions intégrables extrêmement irrégulières.

Pourquoi CETTE définition formelle :

Pourquoi définir l'intégrale par des sommes ENCADRANTES plutôt que par une simple limite de sommes ? Parce qu'une limite exigerait de choisir des points d'évaluation, et il faudrait alors prouver que le résultat n'en dépend pas. Darboux résout la difficulté en prenant l'inf et le sup sur chaque morceau : on obtient deux quantités automatiquement monotones, et l'intégrabilité devient simplement leur égalité. La définition contient ainsi sa propre preuve de cohérence.

Images Mentales & Modèles d'Intuition (3)

Modèle #1

Deux escaliers encadrant la courbe : l'un passe toujours au-dessous, l'autre toujours au-dessus. La fonction est intégrable si l'on peut resserrer l'écart entre les deux autant qu'on veut.

Ce qu'elle capture :

L'intégrabilité devient un critère de resserrement, sans référence à aucune limite ni à aucun choix de points. Les sommes inférieures croissent, les supérieures décroissent : on retrouve exactement le schéma des suites adjacentes.

⚠️ Où l'analogie ment :

L'image suggère que toute fonction bornée est intégrable. C'est faux : pour la fonction indicatrice de , l'escalier du bas reste à hauteur et celui du haut à hauteur , quelle que soit la finesse du découpage. Les deux escaliers ne se rejoignent jamais.

Modèle #2

La fonction est un compteur d'aire : il avance d'autant plus vite que la courbe est haute au point où il se trouve.

Ce qu'elle capture :

La dérivée du compteur est la hauteur : c'est littéralement l'énoncé du théorème fondamental, et il devient presque évident sous cette forme.

⚠️ Où l'analogie ment :

L'image suppose la continuité. Si saute, le compteur continue d'avancer sans à-coup — la primitive reste continue — mais sa vitesse change brutalement : présente un point anguleux et n'est plus dérivable. La primitive est toujours plus régulière que la fonction, jamais moins.

Modèle #3

L'intégration par parties est une règle de transfert : on déplace la dérivation d'un facteur vers l'autre, en payant un terme de bord.

Ce qu'elle capture :

Elle n'est rien d'autre que la dérivée d'un produit lue à l'envers : intégrée donne immédiatement la formule.

⚠️ Où l'analogie ment :

L'image ne dit pas quel facteur choisir de dériver. Le choix est stratégique et non symétrique : on dérive ce qui se simplifie — un polynôme, un logarithme — et l'on primitive ce qui se conserve — une exponentielle, un sinus. Un mauvais choix complique l'intégrale au lieu de la simplifier.

Les Pièges Conceptuels Classiques

1
Toute fonction bornée sur un segment est intégrable.

Correction :

Faux : l'indicatrice de sur est bornée, et sur tout sous-intervalle son inf vaut et son sup vaut par double densité. Somme inférieure et somme supérieure valent constamment et : la fonction n'est pas Riemann-intégrable. C'est cette pathologie qui motivera l'intégrale de Lebesgue en L3.

2
Une intégrale nulle signifie que la fonction est nulle.

Correction :

Faux en général : sans que la fonction soit nulle, les aires positives et négatives se compensant. L'énoncé correct exige DEUX hypothèses supplémentaires : si est CONTINUE et POSITIVE d'intégrale nulle, alors est identiquement nulle. Retirer l'une des deux le rend faux.

3
Toute fonction continue admet une primitive explicite.

Correction :

Le théorème donne l'EXISTENCE, jamais une formule. La fonction est continue donc admet une primitive, mais on démontre — théorème de Liouville — qu'aucune primitive ne s'exprime à l'aide des fonctions usuelles. Exister et savoir écrire sont deux choses distinctes.

4
On peut intégrer une inégalité stricte en conservant la stricte inégalité.

Correction :

L'intégration transforme le strict en large en général — comme le passage à la limite. En réalité, pour des fonctions continues sur un segment non réduit à un point, partout donne bien strictement, grâce au théorème de positivité stricte. Mais le raisonnement exige la continuité, et il faut le justifier au lieu de l'affirmer.

Glossaire des Notations Mathématiques

intégrale de a à b

la variable $t$ est MUETTE : elle n'existe pas hors de l'intégrale et ne doit jamais être réutilisée

écart de Darboux

quantité à rendre arbitrairement petite ; c'est le critère opérationnel d'intégrabilité