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L1 • Équations Différentielles
Fondation L1

Équations différentielles linéaires du premier et du second ordre

Structure affine des solutions, variation de la constante de Lagrange, équation caractéristique et problème de Cauchy

Point d'entrée intuitif

Pourquoi les lois de la physique s'énoncent-elles toujours comme des relations entre une grandeur et ses variations, et comment une telle relation peut-elle déterminer entièrement l'avenir d'un système ?

Idée en une phrase :
Résoudre une équation différentielle linéaire, c'est trouver UNE solution particulière et y ajouter tout l'espace vectoriel des solutions de l'équation sans second membre.
Généalogie historique du concept :

Newton pose en 1687 le problème sous sa forme moderne : la deuxième loi du mouvement est une équation différentielle du second ordre. Pendant un siècle, on résout au cas par cas. Lagrange invente la variation des constantes en 1774, non pour les besoins de l'analyse, mais pour calculer les perturbations des orbites planétaires : les constantes d'intégration du problème à deux corps devenaient lentement variables sous l'effet des autres planètes. La méthode est donc née d'un problème d'astronomie, et son nom en garde la trace.

Pourquoi CETTE définition formelle :

Pourquoi insister sur la LINÉARITÉ ? Parce que c'est elle, et elle seule, qui donne la structure : l'ensemble des solutions de l'équation homogène est un espace vectoriel, et l'ensemble complet est un sous-espace affine. Sans linéarité, aucune structure, aucun principe de superposition, et la résolution redevient un art. C'est pourquoi la physique linéarise systématiquement : le pendule à petites oscillations est linéaire, le pendule complet ne l'est pas et devient chaotique.

Images Mentales & Modèles d'Intuition (3)

Modèle #1

L'ensemble des solutions est un plan affine : une solution particulière donne le point d'ancrage, l'espace des solutions homogènes donne la direction.

Ce qu'elle capture :

La formule « solution générale égale solution particulière plus solution homogène » n'est pas une recette : c'est la description d'un sous-espace affine, exactement comme pour un système linéaire .

⚠️ Où l'analogie ment :

L'image suppose la linéarité. Pour une équation non linéaire, l'ensemble des solutions n'a aucune structure : la somme de deux solutions n'en est pas une, et l'on perd toute possibilité de superposition.

Modèle #2

La condition initiale est une adresse : l'équation dit comment on se déplace, la condition initiale dit d'où l'on part. Ensemble, elles déterminent un unique trajet.

Ce qu'elle capture :

Le déterminisme devient géométrique : par chaque point passe une et une seule courbe intégrale, et deux trajectoires ne se croisent jamais.

⚠️ Où l'analogie ment :

L'image suppose que le champ de directions est régulier partout. Aux points singuliers, où le coefficient devant la dérivée s'annule, plusieurs trajectoires peuvent partir du même point, ou aucune. L'équation en est l'exemple canonique.

Modèle #3

La variation de la constante consiste à laisser respirer une constante : on prend la solution homogène et l'on autorise sa constante à devenir une fonction du temps.

Ce qu'elle capture :

Le calcul se déroule tout seul : en injectant, les termes homogènes s'annulent par construction, et il ne reste qu'une simple primitive à calculer.

⚠️ Où l'analogie ment :

L'image ne dit pas POURQUOI cela fonctionne. La raison est structurelle : on cherche la solution dans une base de l'espace homogène, en remplaçant les coordonnées constantes par des fonctions. C'est un changement de base, pas une astuce.

Les Pièges Conceptuels Classiques

1
La solution générale d'une équation linéaire est la somme de deux solutions particulières.

Correction :

La solution générale est UNE solution particulière PLUS l'ensemble complet des solutions homogènes. Ajouter deux solutions de l'équation complète donne une fonction qui vérifie l'équation avec un second membre DOUBLÉ, donc ne convient pas. En revanche, leur DIFFÉRENCE est solution homogène : c'est exactement ce qui fonde la structure affine.

2
Toute équation différentielle a une solution unique une fois la condition initiale fixée.

Correction :

Faux en général. L'équation avec admet la solution nulle ET la solution pour , donc une infinité par recollement. L'unicité exige une hypothèse de régularité — le caractère lipschitzien — automatiquement vérifiée dans le cas linéaire, et absente ici.

3
Les solutions sont toujours définies sur tout entier.

Correction :

C'est une propriété REMARQUABLE du cas linéaire, et non une généralité. L'équation avec a pour solution , qui explose en : la solution maximale est définie sur seulement. La linéarité interdit l'explosion en temps fini.

4
Sur , l'équation a un espace de solutions homogènes de dimension .

Correction :

Le théorème exige que le coefficient devant ne s'annule pas. En , l'équation dégénère. Les solutions homogènes sont sur chaque demi-droite, et le raccordement en n'est possible que si des deux côtés : sur entier, l'espace homogène est réduit à et la solution est unique. La dimension chute de à .

Glossaire des Notations Mathématiques

espace des solutions homogènes

espace VECTORIEL, de dimension $1$ à l'ordre $1$ et $2$ à l'ordre $2$

solution particulière

n'importe laquelle convient : le point d'ancrage du sous-espace affine

primitive de a

toute primitive convient, la constante étant absorbée par la constante d'intégration