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L1 • Analyse Réelle
Fondation L1

Intégrales doubles et triples

Théorème de Fubini sur les domaines simples, changements de variables polaire, cylindrique et sphérique, aires, volumes et centres de masse

Point d'entrée intuitif

Comment calculer le volume d'un objet dont on ne connaît que les équations de sa frontière — et pourquoi le choix de l'ordre des intégrations peut-il transformer un calcul impossible en calcul immédiat ?

Idée en une phrase :
Une intégrale multiple se calcule en tranchant le domaine, et l'on a le droit de choisir le sens des tranches comme le système de coordonnées.
Généalogie historique du concept :

Le calcul des volumes précède de loin la théorie : Archimède obtient le volume de la sphère vers av. J.-C. par une méthode d'équilibre mécanique, et considère ce résultat comme son chef-d'œuvre au point de le faire graver sur sa tombe. Cavalieri formule en 1635 son principe des indivisibles — deux solides ayant mêmes sections ont même volume —, ancêtre direct de Fubini. Les intégrales multiples deviennent systématiques avec Euler et Lagrange au XVIII siècle, mais leur justification rigoureuse attendra Fubini en 1907 et Tonelli en 1909, tous deux dans le cadre de l'intégrale de Lebesgue.

Pourquoi CETTE définition formelle :

Pourquoi définir l'intégrale double par des sommes sur des pavés, plutôt que directement par des intégrales itérées ? Parce que l'intégrale itérée dépend a priori de l'ordre choisi, et qu'il faudrait démontrer que le résultat n'en dépend pas. La définition par pavés est SYMÉTRIQUE en les deux variables : le théorème de Fubini devient alors un énoncé de calcul, affirmant que les deux itérations redonnent cet objet unique. On définit d'abord ce qu'on veut, on calcule ensuite.

Images Mentales & Modèles d'Intuition (3)

Modèle #1

Le principe de Cavalieri : deux piles de cartes, l'une droite, l'autre penchée, ont le même volume si chaque carte a la même aire.

Ce qu'elle capture :

Le volume s'obtient en intégrant l'aire des sections : c'est exactement l'énoncé de Fubini, et la forme de l'empilement n'intervient pas.

⚠️ Où l'analogie ment :

L'image suppose que les sections sont toutes de même nature. Pour un domaine dont la forme change brutalement, il faut le DÉCOUPER en morceaux simples avant d'appliquer le principe — c'est là que réside l'essentiel du travail pratique.

Modèle #2

Le jacobien est un taux de change : il indique combien de mètres carrés valent un mètre carré du nouveau système de coordonnées, en chaque point.

Ce qu'elle capture :

Le facteur des coordonnées polaires devient évident : loin de l'origine, un petit rectangle en couvre une aire d'autant plus grande que est grand.

⚠️ Où l'analogie ment :

L'image d'un taux de change suggère une constante. Le jacobien VARIE d'un point à l'autre, et c'est justement pourquoi il reste sous l'intégrale au lieu de sortir en facteur. Il peut aussi s'annuler, auquel cas le changement de variables cesse d'être valide.

Modèle #3

Choisir l'ordre d'intégration, c'est choisir de trancher un pain en rondelles ou en bâtonnets.

Ce qu'elle capture :

Les deux découpages donnent le même pain, donc la même quantité ; mais l'un peut être trivial à décrire et l'autre inextricable.

⚠️ Où l'analogie ment :

L'image ne dit pas que l'échange exige une hypothèse. Sans intégrabilité, les deux intégrales itérées peuvent exister et DIFFÉRER — c'est le contre-exemple classique du module, et il montre que Fubini n'est pas une évidence.

Les Pièges Conceptuels Classiques

1
On peut toujours intervertir l'ordre des intégrations.

Correction :

Faux en général. Pour sur , les deux intégrales itérées valent et . La fonction n'est pas intégrable — son intégrale en valeur absolue diverge — et c'est exactement l'hypothèse que Fubini exige. Le module L3-06 formulera cette condition proprement.

2
Les bornes d'intégration se conservent quand on échange l'ordre.

Correction :

Sur un domaine non rectangulaire, les bornes changent complètement. Pour le triangle , intégrer d'abord en donne variant de à ; intégrer d'abord en donne variant de à . Redessiner le domaine et relire les inégalités est obligatoire à chaque échange.

3
Le jacobien est le déterminant de la matrice de changement de variables, sans valeur absolue.

Correction :

En dimension supérieure, on intègre sur un DOMAINE, non d'une borne à une autre : il n'y a plus d'orientation à porter. La formule comporte donc la VALEUR ABSOLUE du jacobien. Oublier ce point produit des volumes négatifs.

4
Une intégrale double se calcule en intégrant séparément chaque variable.

Correction :

La séparation exige DEUX conditions : un domaine rectangulaire ET une fonction produit. Sur un disque, ou pour , elle est fausse. C'est un cas particulier commode, pas une méthode générale.

Glossaire des Notations Mathématiques

intégrale double sur D

objet SYMÉTRIQUE en les deux variables, défini par des sommes sur des pavés, indépendamment de tout ordre

valeur absolue du jacobien

facteur de dilatation local des aires ou volumes ; la valeur absolue est obligatoire

élément d'aire polaire

le facteur $r$ EST le jacobien : une cellule polaire s'agrandit avec le rayon