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Fondation L1

Statistique descriptive

Moyenne, médiane et quantiles, variance et König-Huygens, covariance, droite des moindres carrés et coefficient de corrélation

Point d'entrée intuitif

Pourquoi la moyenne et la médiane, qui prétendent toutes deux résumer une série par un nombre central, peuvent-elles différer radicalement — et laquelle faut-il croire ?

Idée en une phrase :
Chaque indicateur de position est la solution d'un problème de minimisation, et c'est le choix de la distance minimisée qui décide de ses propriétés.
Généalogie historique du concept :

La statistique naît de l'astronomie et de l'État. Les astronomes du XVIII siècle cherchent à combiner des observations discordantes : Legendre publie la méthode des moindres carrés en 1805, Gauss affirme l'utiliser depuis 1795 pour calculer l'orbite de Cérès. Quetelet introduit vers 1835 l'homme moyen et applique la statistique aux populations humaines. Galton découvre en 1886 la régression vers la moyenne en étudiant la taille des enfants comparée à celle de leurs parents ; Pearson formalise le coefficient de corrélation en 1896. Le mot « régression » garde la trace de cette découverte : ce n'est pas un terme mathématique, c'est un constat biologique.

Pourquoi CETTE définition formelle :

Pourquoi diviser par dans la variance, et pourquoi élever au carré plutôt que prendre la valeur absolue ? Le carré rend la fonction DÉRIVABLE, ce qui permet de minimiser par annulation de la dérivée et donne des formules explicites. Il fait aussi apparaître une structure euclidienne : la variance est un carré de norme, la covariance un produit scalaire. La valeur absolue donnerait la médiane, plus robuste mais sans formule fermée. Deux choix, deux mondes — et le carré a gagné parce qu'il calcule, non parce qu'il décrit mieux.

Images Mentales & Modèles d'Intuition (3)

Modèle #1

La moyenne est le point d'équilibre d'une balance où chaque donnée est un poids ; la médiane est le point qui coupe l'effectif en deux moitiés.

Ce qu'elle capture :

Une valeur extrême très éloignée déplace fortement l'équilibre mais ne change presque pas le point de partage : c'est exactement la différence de robustesse entre les deux.

⚠️ Où l'analogie ment :

L'image suggère que la médiane est toujours préférable. Elle ignore l'information portée par l'amplitude des écarts : sur des données symétriques sans valeur aberrante, la moyenne utilise toute l'information quand la médiane en jette l'essentiel.

Modèle #2

La variance est la moyenne des carrés des écarts au centre : c'est un moment d'inertie, au sens exact de la mécanique.

Ce qu'elle capture :

La formule de König-Huygens est littéralement le théorème de Huygens de la mécanique du solide : l'inertie par rapport à un point quelconque est l'inertie par rapport au centre de masse, plus la masse fois le carré de la distance.

⚠️ Où l'analogie ment :

L'image ne dit pas que la variance est en unités CARRÉES : une variance de tailles s'exprime en centimètres carrés, grandeur sans interprétation directe. C'est pourquoi on lui préfère l'écart-type, homogène aux données.

Modèle #3

Le coefficient de corrélation est le cosinus de l'angle entre deux nuages centrés : il vaut quand ils sont alignés, quand ils sont perpendiculaires.

Ce qu'elle capture :

Son encadrement entre et devient une conséquence immédiate de Cauchy-Schwarz, et le cas d'égalité correspond à l'alignement parfait.

⚠️ Où l'analogie ment :

L'image ne mesure QUE l'alignement. Un nuage parfaitement déterministe mais courbe — une parabole symétrique — a une corrélation nulle. Corrélation nulle ne signifie donc jamais absence de lien, seulement absence de lien LINÉAIRE.

Les Pièges Conceptuels Classiques

1
Corrélation implique causalité.

Correction :

Une corrélation peut provenir d'une cause commune, d'une coïncidence, ou d'un biais de sélection. Les ventes de glaces et les noyades sont fortement corrélées : la température en est la cause commune. Seule une expérience contrôlée, ou un protocole causal explicite, permet de conclure à une causalité — jamais le seul calcul d'un coefficient.

2
Une corrélation nulle signifie qu'il n'y a aucun lien.

Correction :

Il ne mesure que le lien LINÉAIRE. Pour les points , , , , , situés exactement sur une parabole, la corrélation vaut alors que est entièrement déterminé par . Un nuage doit toujours être TRACÉ avant d'être résumé.

3
Les indicateurs résument fidèlement les données.

Correction :

Le quartet d'Anscombe, construit en 1973, réunit quatre jeux de données ayant EXACTEMENT les mêmes moyennes, variances, corrélation et droite de régression — et dont les nuages sont radicalement différents : l'un linéaire, l'un courbe, l'un avec un point aberrant, l'un dégénéré. Aucun indicateur ne remplace un graphique.

4
La droite de régression de en et celle de en sont la même.

Correction :

Ce sont deux droites différentes, sauf corrélation parfaite. La première minimise les écarts VERTICAUX, la seconde les écarts HORIZONTAUX : ce ne sont pas les mêmes distances. Leurs pentes ont pour produit , et elles ne coïncident que si . Le choix de la variable à expliquer n'est donc jamais neutre.

Glossaire des Notations Mathématiques

moyenne de x

minimise la somme des carrés des écarts ; sensible aux valeurs extrêmes

écart-type

racine de la variance ; HOMOGÈNE aux données, contrairement à la variance

coefficient de corrélation

cosinus de l'angle entre les séries centrées ; mesure le lien LINÉAIRE seulement