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Catalogue Licence

L2 • Algèbre Linéaire

Approfondissement L2

Accès Libre

Réduction des endomorphismes et théorème de Cayley-Hamilton

Polynôme caractéristique, sous-espaces propres, lemme des noyaux, polynôme minimal et critère de diagonalisabilité

Fils Rouges :Fil 3 — Linéarité et décomposition

Point d'entrée intuitif

Une matrice $n \times n$ contient $n^{2}$ nombres qui dépendent tous de la base choisie. Existe-t-il une base où il n'en reste que $n$ — les valeurs propres — et si oui, comment savoir à l'avance si cette base existe ?

Idée en une phrase :

Diagonaliser, c'est trouver les directions que la transformation ne fait qu'étirer, sans les tourner.

Généalogie historique du concept :

Le problème naît de la mécanique : Euler cherche en 1765 les axes principaux d'inertie d'un solide, directions selon lesquelles la rotation est stable. Lagrange et Laplace rencontrent la même question dans l'étude des petites oscillations et de la stabilité du système solaire, où les valeurs propres décident de la bornitude des perturbations. Cauchy démontre en 1829 que les matrices symétriques réelles ont un spectre réel. Cayley énonce son théorème en 1858 en le vérifiant à la main pour les tailles 2 et 3, en jugeant inutile de traiter le cas général ; Frobenius en donne la première démonstration complète en 1878.

Pourquoi CETTE définition formelle :

Pourquoi définir le polynôme caractéristique par det (X Id - u) plutôt que par det (u - X Id) ? Les deux ne diffèrent que d'un signe (- 1)^{n}, mais la première convention rend le polynôme UNITAIRE, ce qui permet d'écrire proprement la division euclidienne et de comparer au polynôme minimal. Une convention de signe n'est jamais neutre : elle est choisie pour que les énoncés ultérieurs soient les plus simples possibles.

Images Mentales & Modèles d'Intuition (3)

Modèle #1

Une transformation linéaire déforme un ballon de baudruche. Les vecteurs propres sont les directions qui restent alignées avec elles-mêmes après déformation, seule leur longueur changeant.

Ce qu'elle capture :

La valeur propre est le facteur d'étirement le long d'une direction propre, et diagonaliser revient à repérer toutes ces directions privilégiées.

⚠️ Où l'analogie ment :

L'image suggère que de telles directions existent toujours. Faux : une rotation du plan d'angle non plat n'en a aucune sur R, puisqu'elle tourne toutes les directions. L'existence de vecteurs propres n'est nullement garantie, et dépend du corps de base.

Modèle #2

Le lemme des noyaux est un tri postal : un polynôme annulateur factorisé en morceaux premiers entre eux trie automatiquement l'espace en boîtes, une par facteur.

Ce qu'elle capture :

Une relation algébrique sur

u

produit une DÉCOMPOSITION de l'espace : c'est le mécanisme unique dont dérivent la diagonalisation, la décomposition de Dunford et la réduction de Jordan.

⚠️ Où l'analogie ment :

Le tri n'a lieu que si les facteurs sont premiers entre eux DEUX À DEUX. Avec P = X^{2}, il n'y a qu'une boîte et aucune information : la nilpotence ne se décompose pas.

Modèle #3

Le polynôme minimal est la relation la plus économique que la matrice satisfait ; le polynôme caractéristique en est une, plus grosse, souvent redondante.

Ce qu'elle capture :

Cayley-Hamilton dit que le caractéristique est annulateur, donc que le minimal le divise. La différence entre les deux mesure exactement le défaut de diagonalisabilité.

⚠️ Où l'analogie ment :

L'image suggère que le minimal serait « plus petit » en tout sens. Ils ont pourtant les mêmes RACINES — les valeurs propres — et ne diffèrent que par les multiplicités. Deux matrices peuvent partager les deux polynômes sans être semblables dès la dimension 4 .

Les Pièges Conceptuels Classiques

Une matrice est diagonalisable si et seulement si elle a

n

valeurs propres distinctes.

Correction :

L'identité

I_{n}

n'a qu'une valeur propre et est diagonale. Le critère exact est :

χ_{u}

scindé et, pour chaque valeur propre,

dim E_{λ}

égale sa multiplicité algébrique. La condition des

n

valeurs distinctes est le cas particulier où toutes les multiplicités valent

1

Toute matrice est diagonalisable sur

C

Correction :

Faux : la matrice nilpotente d'ordre

2

ayant un unique coefficient

1

hors diagonale a pour seule valeur propre

0

, de multiplicité

2

, alors que son noyau est de dimension

1

. Elle n'est pas diagonalisable, même sur

C

. Ce qui est vrai sur

C

, c'est la TRIGONALISABILITÉ.

Le polynôme caractéristique détermine la classe de similitude.

Correction :

Faux dès la dimension

2

I_{2}

et la matrice de transvection unipotente ont le même polynôme caractéristique

(X - 1)^{2}

, et ne sont pas semblables — l'une est diagonale, l'autre non. Même le couple caractéristique-minimal ne suffit pas en dimension

4

; seuls les invariants de similitude classent complètement.

Cayley-Hamilton se démontre en remplaçant

X

par

u

dans

χ_{u} (X) = det (X Id - u)

Correction :

C'est la fausse preuve classique, et elle est fausse pour une raison de TYPE :

det (X Id - u)

est un scalaire dépendant de

X

, tandis que

χ_{u} (u)

est un endomorphisme. La substitution mélange deux natures d'objets. La preuve correcte passe par l'identité de la comatrice, où tout se joue dans l'anneau des matrices à coefficients polynomiaux.

Glossaire des Notations Mathématiques

\Sp (u)

spectre de u

ensemble des valeurs propres DANS le corps considéré : il dépend du corps, contrairement au polynôme caractéristique

π_{u}

polynôme minimal

la relation algébrique la plus économique vérifiée par $u$ ; divise tout annulateur

m_{λ}

d_{λ}

multiplicités algébrique et géométrique

on a toujours $1 \le d_\lambda \le m_\lambda$ ; l'égalité pour tout $\lambda$ caractérise la diagonalisabilité

Réduction des endomorphismes et théorème de Cayley-Hamilton

Une matrice n×n contient n2 nombres qui dépendent tous de la base choisie. Existe-t-il une base où il n'en reste que n — les valeurs propres — et si oui, comment savoir à l'avance si cette base existe ?

Images Mentales & Modèles d'Intuition (3)

Une transformation linéaire déforme un ballon de baudruche. Les vecteurs propres sont les directions qui restent alignées avec elles-mêmes après déformation, seule leur longueur changeant.

Le lemme des noyaux est un tri postal : un polynôme annulateur factorisé en morceaux premiers entre eux trie automatiquement l'espace en boîtes, une par facteur.

Le polynôme minimal est la relation la plus économique que la matrice satisfait ; le polynôme caractéristique en est une, plus grosse, souvent redondante.

Les Pièges Conceptuels Classiques

Glossaire des Notations Mathématiques

Une matrice $n \times n$ contient $n^{2}$ nombres qui dépendent tous de la base choisie. Existe-t-il une base où il n'en reste que $n$ — les valeurs propres — et si oui, comment savoir à l'avance si cette base existe ?