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L2 • Algèbre Linéaire
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Espaces préhilbertiens, inégalité de Cauchy-Schwarz et procédé de Gram-Schmidt

Produit scalaire, norme euclidienne, orthogonalité, bases orthonormées, projection orthogonale et moindres carrés

Fils Rouges :Fil 7 — Orthogonalité : mesurer, projeter, approcher au mieux
Point d'entrée intuitif

Comment parler d'angle entre deux fonctions, ou de distance entre deux polynômes, alors que ces objets n'ont rien de géométrique — et pourquoi une seule inégalité suffit-elle à donner un sens à tout cela ?

Idée en une phrase :
Un produit scalaire est une machine à mesurer le degré d'alignement entre deux objets ; tout le reste — longueur, angle, projection, meilleure approximation — en découle.
Généalogie historique du concept :

L'inégalité naît trois fois. Cauchy la démontre en 1821 pour des sommes finies, dans son Cours d'analyse. Bouniakovski en donne la version intégrale en 1859, et son travail passe inaperçu en Europe occidentale. Schwarz la redémontre en 1888 dans le cadre du calcul des variations, où il cherche à minimiser des énergies. La motivation profonde est identique dans les trois cas : contrôler un produit par les grandeurs individuelles, pour majorer une quantité qu'on ne sait pas calculer directement.

Pourquoi CETTE définition formelle :

Pourquoi exiger que la forme soit DÉFINIE positive, et pas seulement positive ? Parce que doit entraîner : sans cela, la norme s'annulerait sur des vecteurs non nuls, et l'on ne pourrait plus distinguer deux points de distance nulle. Cette exigence est exactement ce qui échoue en relativité restreinte, où la forme de Minkowski est non dégénérée mais pas définie positive : il existe des vecteurs non nuls de norme nulle, les vecteurs de type lumière, et Cauchy-Schwarz y est faux.

Images Mentales & Modèles d'Intuition (3)

Modèle #1

Le produit scalaire mesure l'ombre : est la longueur de l'ombre de portée sur la direction de , multipliée par la longueur de .

Ce qu'elle capture :

Cauchy-Schwarz devient évident : une ombre n'est jamais plus longue que l'objet. L'égalité a lieu exactement quand l'objet est déjà couché dans la direction de projection, c'est-à-dire quand les deux vecteurs sont colinéaires.

⚠️ Où l'analogie ment :

L'image suppose une géométrie euclidienne préexistante, alors que c'est justement le produit scalaire qui la crée. Elle ne dit rien non plus des espaces de fonctions, où l'ombre n'a aucun sens visuel mais où l'inégalité reste vraie et utile.

Modèle #2

Gram-Schmidt est un redressement progressif : on prend les vecteurs un par un, et l'on retranche à chacun tout ce qu'il doit aux précédents.

Ce qu'elle capture :

Le procédé est algorithmique et conserve les sous-espaces engendrés par les premiers vecteurs, ce qui est la propriété décisive : il ne réorganise pas la famille, il la redresse.

⚠️ Où l'analogie ment :

L'image ne signale pas l'instabilité numérique : appliqué naïvement en machine, le procédé perd l'orthogonalité par accumulation d'erreurs d'arrondi. Les bibliothèques utilisent une version modifiée, ou des réflexions de Householder.

Modèle #3

La projection orthogonale est le pied de la perpendiculaire : parmi tous les points d'un sous-espace, c'est celui d'où l'on voit le point cible sous un angle droit.

Ce qu'elle capture :

La caractérisation par minimisation devient géométriquement inévitable : le chemin le plus court vers un plan est la perpendiculaire, et le théorème de Pythagore le démontre en une ligne.

⚠️ Où l'analogie ment :

L'image suggère que la projection existe toujours. En dimension infinie, sans complétude, elle peut ne pas exister : c'est la limitation que les espaces de Hilbert lèveront en L3.

Les Pièges Conceptuels Classiques

1
Le supplémentaire orthogonal est simplement un supplémentaire parmi d'autres.

Correction :

L'orthogonal est un supplémentaire PARTICULIER, et il est UNIQUE une fois le produit scalaire fixé. C'est précisément ce que le produit scalaire apporte : il lève l'indétermination laissée par l'algèbre linéaire pure. Ce que le module L1-04 laissait ouvert, celui-ci le referme.

2
Cauchy-Schwarz vaut pour toute forme bilinéaire symétrique.

Correction :

Elle utilise la POSITIVITÉ : c'est elle qui garantit que le trinôme est de signe constant. En relativité restreinte, avec la forme de Minkowski, l'inégalité est fausse pour les vecteurs de type temps. Un vecteur peut y avoir une norme nulle sans être nul.

3
Une famille orthogonale est nécessairement une base si elle a le bon cardinal.

Correction :

L'hypothèse « non nuls » est indispensable : la famille formée d'un vecteur et du vecteur nul est orthogonale et liée. Le vecteur nul est orthogonal à tout le monde, y compris à lui-même, ce qui en fait le cas dégénéré universel.

4
Gram-Schmidt fonctionne sur n'importe quelle famille.

Correction :

Il exige une famille LIBRE : si un vecteur appartient à l'espace engendré par les précédents, la soustraction produit le vecteur nul, qu'on ne peut normaliser. La division par une norme nulle est exactement le point où l'algorithme signale la dépendance linéaire — c'est d'ailleurs un test de rang.

Glossaire des Notations Mathématiques

produit scalaire de x et y

mesure d'alignement ; nul exactement quand les vecteurs sont orthogonaux

orthogonal de F

sous-espace des vecteurs orthogonaux à tout $F$ ; UNIQUE, contrairement à un supplémentaire quelconque

projection orthogonale sur F

réalise la meilleure approximation de $x$ par un élément de $F$