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L2 • Algèbre Linéaire
Approfondissement L2

Endomorphismes autoadjoints, théorème spectral et formes quadratiques

Réalité du spectre, diagonalisation en base orthonormée , réduction des formes quadratiques et loi d'inertie

Fils Rouges :Fil 3 — Linéarité et décomposition
Point d'entrée intuitif

Le module précédent laissait ouverte une question : quand la base de diagonalisation peut-elle être choisie ORTHONORMÉE, de sorte que la réduction ne déforme pas la géométrie ?

Idée en une phrase :
Une transformation qui respecte le produit scalaire dans les deux arguments possède toujours des axes propres perpendiculaires.
Généalogie historique du concept :

Le problème naît de la mécanique du solide : Euler puis Cauchy cherchent les axes principaux d'inertie, directions selon lesquelles un corps tourne sans effort de torsion. Cauchy démontre en 1829 que ces axes existent toujours, c'est-à-dire que les matrices symétriques réelles sont diagonalisables en base orthonormée. Le même énoncé resurgit ensuite partout : Sylvester (1852) pour les formes quadratiques, Hilbert (1904) pour les opérateurs intégraux, von Neumann (1932) pour la mécanique quantique. Un unique théorème, quatre motivations indépendantes.

Pourquoi CETTE définition formelle :

Pourquoi définir l'autoadjonction par plutôt que par la symétrie de la matrice ? Parce que la première définition est INTRINSÈQUE : elle ne dépend d'aucune base. Le lien avec la symétrie matricielle n'est vrai que dans une base ORTHONORMÉE — une matrice symétrique dans une base quelconque ne représente pas nécessairement un endomorphisme autoadjoint. Confondre les deux est l'erreur structurelle du chapitre.

Images Mentales & Modèles d'Intuition (3)

Modèle #1

Un endomorphisme autoadjoint déforme une sphère en un ellipsoïde dont les axes restent perpendiculaires ; les valeurs propres sont les longueurs des demi-axes.

Ce qu'elle capture :

La diagonalisation orthogonale devient visuelle : il existe toujours un repère où la déformation est un simple étirement selon trois directions perpendiculaires. Une valeur propre négative correspond à un retournement.

⚠️ Où l'analogie ment :

L'image suggère que toute déformation linéaire est de ce type. Faux : une transformation non symétrique envoie la sphère sur un ellipsoïde dont les axes ne sont PAS les images de directions perpendiculaires. Il faut alors deux familles orthonormées distinctes, une au départ et une à l'arrivée — c'est la décomposition en valeurs singulières.

Modèle #2

Le théorème spectral est un changement de repère qui rend une forme quadratique aussi simple qu'une somme de carrés pondérés.

Ce qu'elle capture :

L'expression dans les axes propres rend le signe de immédiatement lisible : il ne dépend plus que des signes des valeurs propres.

⚠️ Où l'analogie ment :

L'image ne distingue pas deux réductions très différentes : la réduction ORTHOGONALE, qui préserve les longueurs et livre les valeurs propres, et la réduction de Gauss, qui autorise n'importe quel changement de base et ne livre que les SIGNES. La seconde est plus rapide, la première seule est géométrique.

Modèle #3

La récurrence de la preuve est un épluchage : on trouve un axe propre, on se restreint à son plan orthogonal, et l'on recommence en dimension inférieure.

Ce qu'elle capture :

Chaque étape retire exactement une dimension, et l'orthogonal de l'axe trouvé est stable — c'est ce qui permet de recommencer.

⚠️ Où l'analogie ment :

L'image ne dit pas pourquoi l'orthogonal est stable : c'est une conséquence NON TRIVIALE de l'autoadjonction, et c'est le seul endroit de la preuve où l'hypothèse est réellement utilisée pour la récurrence.

Les Pièges Conceptuels Classiques

1
Une matrice symétrique représente toujours un endomorphisme autoadjoint.

Correction :

L'équivalence n'a lieu que dans une base ORTHONORMÉE. Dans une base quelconque, l'autoadjonction s'écrit où est la matrice de Gram : une matrice symétrique peut alors représenter un endomorphisme non autoadjoint, et réciproquement.

2
Toute matrice diagonalisable est diagonalisable en base orthonormée.

Correction :

Faux : la matrice
a deux valeurs propres distinctes donc est diagonalisable, mais ses vecteurs propres ne sont pas orthogonaux. La diagonalisation ORTHOGONALE caractérise exactement les matrices symétriques — c'est une équivalence, pas une simple implication.

3
La réduction de Gauss d'une forme quadratique donne les valeurs propres.

Correction :

Les coefficients de Gauss ne sont PAS les valeurs propres : ils dépendent de l'ordre d'élimination choisi. Seuls leurs SIGNES sont intrinsèques, ce qu'affirme la loi d'inertie de Sylvester. Pour obtenir les valeurs propres, il faut la réduction orthogonale, plus coûteuse.

4
Une matrice symétrique à coefficients positifs est définie positive.

Correction :

Faux : la matrice dont tous les coefficients valent en taille est symétrique à coefficients positifs, et sa forme quadratique s'annule sur une droite entière : elle n'est pas définie. Le bon critère porte sur les valeurs propres, ou sur les mineurs principaux dominants (critère de Sylvester).

Glossaire des Notations Mathématiques

diagonalisation orthogonale

$P$ orthogonale, donc $P^{-1}=P^{\top}$ : le changement de base ne déforme pas la géométrie

signature

invariant de la forme quadratique, indépendant de toute base — c'est le contenu de la loi d'inertie

matrices symétriques définies positives

cône convexe ouvert, omniprésent en optimisation et en statistique