Catalogue Licence
L2 • Combinatoire & Probabilités
Approfondissement L2

Variables aléatoires, loi des grands nombres et théorème central limite

Lois discrètes et à densité, espérance et variance, inégalités de Markov et Bienaymé-Tchebychev, convergences et théorèmes limites

Point d'entrée intuitif

Pourquoi la moyenne de nombreux tirages aléatoires devient-elle presque certaine, et pourquoi sa fluctuation résiduelle suit-elle TOUJOURS la même courbe en cloche, quelle que soit la loi de départ ?

Idée en une phrase :
Répéter une expérience aléatoire moyenne les fluctuations : la loi des grands nombres dit vers quoi l'on converge, le théorème central limite dit à quelle vitesse et selon quelle forme.
Généalogie historique du concept :

Jacques Bernoulli démontre en 1713, après vingt ans de travail, la première loi des grands nombres — il l'appelle son théorème d'or. De Moivre découvre en 1733 l'approximation gaussienne de la loi binomiale, résultat repris et généralisé par Laplace en 1812. Le nom de théorème central limite est donné par Pólya en 1920, et l'adjectif « central » qualifie l'importance du théorème, non une quelconque centralité. Lévy et Lindeberg en donnent dans les années 1920 la forme moderne, avec des hypothèses minimales.

Pourquoi CETTE définition formelle :

Pourquoi définir une variable aléatoire comme une FONCTION sur l'univers, plutôt que comme un nombre incertain ? Parce qu'un nombre incertain n'est pas un objet mathématique manipulable, alors qu'une fonction se compose, s'intègre, se majore. La reformulation transforme les probabilités en une branche de l'analyse : l'espérance devient une intégrale, l'indépendance une propriété de factorisation, et tous les théorèmes de convergence deviennent disponibles.

Images Mentales & Modèles d'Intuition (3)

Modèle #1

Une variable aléatoire est un instrument de mesure : l'univers contient tous les états possibles du monde, et la variable en extrait un nombre.

Ce qu'elle capture :

On peut composer des instruments — une fonction de variable aléatoire est une variable aléatoire — et en combiner plusieurs. La loi est ce que l'instrument affiche, indépendamment de l'univers sous-jacent.

⚠️ Où l'analogie ment :

L'image suggère que la variable est déterminée par sa loi. Faux : deux variables de même loi peuvent être très différentes — le résultat d'un dé et son complément à sept ont la même loi et sont pourtant totalement dépendants.

Modèle #2

La loi des grands nombres est un effet de foule : les excès individuels se compensent, et la moyenne se stabilise.

Ce qu'elle capture :

L'écart-type de la moyenne décroît comme : quadrupler le nombre d'observations divise l'incertitude par deux seulement.

⚠️ Où l'analogie ment :

L'image ne dit pas que la compensation exige une VARIANCE FINIE. Pour une loi de Cauchy, la moyenne de tirages suit exactement la même loi que chaque tirage : moyenner n'apporte rigoureusement rien.

Modèle #3

Le théorème central limite est un attracteur universel : quelle que soit la loi de départ, la somme normalisée converge vers la même cloche.

Ce qu'elle capture :

L'universalité est le point remarquable : la loi initiale peut être discrète, asymétrique, exotique — seules comptent son espérance et sa variance.

⚠️ Où l'analogie ment :

L'image suggère une convergence uniforme et rapide. En réalité, la vitesse dépend de la loi initiale — le théorème de Berry-Esseen la borne par — et l'approximation est mauvaise dans les QUEUES, là où l'on a souvent le plus besoin de précision.

Les Pièges Conceptuels Classiques

1
Après une série de faces, pile devient plus probable.

Correction :

C'est l'erreur du joueur. Les tirages étant indépendants, le passé n'influence rien : la probabilité reste . La loi des grands nombres n'agit pas par compensation mais par DILUTION — l'écart absolu peut croître indéfiniment, c'est sa division par qui le fait disparaître.

2
Deux variables aléatoires de covariance nulle sont indépendantes.

Correction :

Faux. Si suit une loi uniforme sur et , alors par symétrie, alors que est une FONCTION de : dépendance totale. La covariance ne mesure que la dépendance linéaire, exactement comme la corrélation au module L1-16.

3
Le théorème central limite s'applique dès qu'on somme des variables.

Correction :

Il exige l'INDÉPENDANCE, une même loi, et surtout une VARIANCE FINIE. Pour la loi de Cauchy, dont la variance n'existe pas, la moyenne de tirages suit la même loi de Cauchy quel que soit : ni loi des grands nombres, ni convergence gaussienne.

4
Une espérance existe toujours.

Correction :

Elle exige la convergence ABSOLUE. Pour le paradoxe de Saint-Pétersbourg — on gagne euros si le premier pile survient au -ième lancer — l'espérance vaut : aucun prix d'entrée fini n'est équitable, et pourtant personne ne miserait beaucoup. Le paradoxe a fondé la notion d'utilité en économie.

Glossaire des Notations Mathématiques

espérance de X

moyenne pondérée par la loi ; existe seulement sous convergence ABSOLUE

écart-type

homogène à $X$ ; celui de la moyenne empirique décroît en $\frac{\sigma}{\sqrt n}$

moyenne empirique

variable aléatoire, non un nombre : elle a sa propre loi, d'espérance $\mu$ et de variance $\frac{\sigma^{2}}{n}$