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Opérateurs compacts et théorie spectrale

Spectre en dimension infinie, opérateurs compacts, alternative de Fredholm, théorème spectral et applications aux équations intégrales

Point d'entrée intuitif

Pourquoi un opérateur autoadjoint en dimension infinie peut-il n'avoir AUCUN vecteur propre — et quelle propriété faut-il ajouter pour retrouver la diagonalisation ?

Idée en une phrase :
Un opérateur compact écrase la boule unité en un ensemble presque de dimension finie : son spectre redevient discret, et la diagonalisation du cas fini se transporte.
Généalogie historique du concept :

Fredholm résout en 1903 les équations intégrales par une méthode de déterminants infinis, ouvrant la voie. Hilbert dégage entre 1904 et 1910 la théorie spectrale des formes quadratiques infinies, et Schmidt en donne la version géométrique. Riesz axiomatise en 1918 la notion d'opérateur compact et démontre l'alternative qui porte le nom de Fredholm. Von Neumann étend en 1929 la théorie aux opérateurs autoadjoints non bornés, motivé par la mécanique quantique, où les observables sont précisément de ce type.

Pourquoi CETTE définition formelle :

Pourquoi définir un opérateur compact par l'image RELATIVEMENT COMPACTE de la boule unité, plutôt que par une condition de dimension ? Parce qu'un opérateur de rang fini est trop restrictif — l'opérateur intégral n'en est pas un — alors que la compacité de l'image capture exactement ce dont on a besoin : la possibilité d'extraire des sous-suites convergentes, donc de récupérer les vecteurs propres par un argument de maximisation.

Images Mentales & Modèles d'Intuition (3)

Modèle #1

Un opérateur compact est un opérateur qui « aplatit » : il transforme un ensemble borné en un ensemble presque de dimension finie.

Ce qu'elle capture :

C'est la limite en norme d'opérateurs de rang fini dans un Hilbert : on peut le tronquer avec une erreur arbitrairement petite, ce qui explique que le cas fini se transporte.

⚠️ Où l'analogie ment :

L'image suggère qu'il perd de l'information. L'opérateur intégral à noyau continu est compact et pourtant injectif dans de nombreux cas : il ne perd rien, il régularise seulement.

Modèle #2

Le spectre est l'ensemble des valeurs qui rendent l'opérateur non inversible ; en dimension finie ce sont les valeurs propres, en dimension infinie il peut y en avoir bien d'autres.

Ce qu'elle capture :

La non-inversibilité peut venir de l'injectivité perdue — ce sont les valeurs propres — mais aussi de la surjectivité perdue, ou d'un inverse non borné.

⚠️ Où l'analogie ment :

L'image ne dit pas que le spectre est toujours NON VIDE et COMPACT pour un opérateur borné : c'est un théorème, et sa démonstration passe par l'analyse complexe du module précédent.

Modèle #3

L'alternative de Fredholm dit qu'une équation se comporte comme un système linéaire fini : ou bien elle a une solution unique, ou bien l'équation homogène a des solutions non triviales.

Ce qu'elle capture :

Le dilemme « soit unicité, soit noyau non trivial » du cas fini se transporte intégralement — c'est le théorème du rang qui survit.

⚠️ Où l'analogie ment :

L'image ne dit pas que cela ÉCHOUE pour un opérateur borné quelconque. L'opérateur de décalage est injectif sans être surjectif, ce qu'aucun opérateur en dimension finie ne peut faire.

Les Pièges Conceptuels Classiques

1
Tout opérateur autoadjoint se diagonalise.

Correction :

Faux en dimension infinie. L'opérateur de multiplication par sur est autoadjoint, borné, et n'a AUCUN vecteur propre : impose nulle presque partout. Son spectre est l'intervalle tout entier — un continuum, non un ensemble discret.

2
Le spectre est l'ensemble des valeurs propres.

Correction :

Le spectre contient les valeurs propres mais peut être bien plus gros. Il se décompose en spectre ponctuel — les valeurs propres —, spectre continu et spectre résiduel. Pour l'opérateur de multiplication, le spectre ponctuel est VIDE alors que le spectre vaut .

3
Un opérateur injectif est inversible.

Correction :

Faux. L'opérateur de décalage à droite sur les suites de carré sommable est injectif, et son image est le sous-espace des suites de première coordonnée nulle : il n'est pas surjectif. Aucun endomorphisme d'un espace de dimension finie ne peut être injectif sans être bijectif.

4
L'identité est compacte puisqu'elle est bornée.

Correction :

L'identité envoie la boule unité sur elle-même, qui n'est JAMAIS compacte en dimension infinie — c'est le théorème de Riesz du module L2-05. L'identité n'est donc compacte que si l'espace est de dimension finie, ce qui rend la notion réellement restrictive.

Glossaire des Notations Mathématiques

spectre de T

NON VIDE et compact pour un opérateur borné ; contient les valeurs propres sans s'y réduire

norme d'opérateur

majore le rayon spectral ; l'égalité vaut pour les opérateurs autoadjoints

compact

opérateur compact

limite en norme d'opérateurs de rang fini dans un Hilbert ; l'identité ne l'est jamais en dimension infinie