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L3 • Combinatoire & Probabilités
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Probabilités et théorie de la mesure

Axiomatique de Kolmogorov, indépendance et tribus, Borel-Cantelli, loi forte des grands nombres, espérance conditionnelle et martingales

Point d'entrée intuitif

Que gagne-t-on à refonder les probabilités sur la théorie de la mesure — et pourquoi la loi FORTE des grands nombres exige-t-elle des outils que la loi faible ne demandait pas ?

Idée en une phrase :
Identifier probabilité et mesure de masse un rend disponibles convergence dominée, Fubini et complétude, ce qui transforme des énoncés inaccessibles en corollaires.
Généalogie historique du concept :

Les probabilités restent longtemps sans fondement rigoureux : Bertrand exhibe en 1889 son paradoxe, où une même question sur une corde d'un cercle reçoit trois réponses selon la manière de « tirer au hasard ». Borel construit en 1909 la première loi forte, pour les décimales des réels. Kolmogorov donne en 1933 l'axiomatique définitive dans un mémoire de soixante pages : un espace probabilisé est un espace mesuré de masse un, une variable aléatoire une fonction mesurable, l'indépendance une propriété de tribus. Le sixième problème de Hilbert, qui demandait l'axiomatisation des probabilités, reçoit ainsi sa réponse.

Pourquoi CETTE définition formelle :

Pourquoi définir l'indépendance par les TRIBUS et non par les événements ? Parce que l'indépendance deux à deux d'événements ne se propage pas aux combinaisons, comme le montrait déjà le module L1-13. En travaillant avec les tribus engendrées, on impose la factorisation pour TOUTES les combinaisons simultanément, et la propriété devient stable par toutes les opérations — passage aux fonctions, aux limites, aux sous-familles. C'est ce qui rend la notion utilisable.

Images Mentales & Modèles d'Intuition (3)

Modèle #1

Une tribu est un niveau d'information : elle rassemble tous les événements dont on peut décider à un instant donné.

Ce qu'elle capture :

Une filtration croissante modélise l'accumulation d'information au fil du temps, et l'espérance conditionnelle est la meilleure prévision compte tenu de ce qu'on sait.

⚠️ Où l'analogie ment :

L'image suggère une information « détenue » par quelqu'un. La tribu est un objet purement mathématique : elle ne dit pas ce qu'on sait, mais ce qu'on POURRAIT décider, ce qui est plus large.

Modèle #2

Le lemme de Borel-Cantelli est un principe d'épuisement : si la somme des probabilités converge, les événements finissent par cesser de se produire.

Ce qu'elle capture :

La convergence de la série interdit une infinité de réalisations : c'est le mécanisme de toutes les convergences presque sûres.

⚠️ Où l'analogie ment :

L'image ne dit pas que la réciproque exige l'INDÉPENDANCE. Sans elle, une série divergente n'entraîne rien — les mêmes événements peuvent se répéter indéfiniment sans que d'autres ne surviennent.

Modèle #3

Une martingale est un jeu équitable : la meilleure prévision du gain futur est le gain actuel.

Ce qu'elle capture :

Aucune stratégie ne permet de gagner en moyenne, ce qui est le théorème d'arrêt : le temps d'arrêt le plus astucieux ne change pas l'espérance.

⚠️ Où l'analogie ment :

L'image suggère qu'on ne peut jamais gagner. La stratégie de la martingale — doubler à chaque perte — gagne presque sûrement, mais exige une fortune infinie : c'est l'hypothèse d'intégrabilité du théorème d'arrêt qui échoue.

Les Pièges Conceptuels Classiques

1
La loi faible et la loi forte des grands nombres disent la même chose.

Correction :

Elles portent sur des modes de convergence DIFFÉRENTS. La loi faible dit que pour chaque grand, un écart est improbable ; la loi forte dit que PRESQUE TOUTE trajectoire converge. La seconde interdit les écarts répétés infiniment souvent, ce que la première autorise. La démonstration exige Borel-Cantelli, absent du module L2-15.

2
« Tirer au hasard » a un sens univoque.

Correction :

Le paradoxe de Bertrand le réfute : la probabilité qu'une corde d'un cercle soit plus longue que le côté du triangle équilatéral inscrit vaut , ou selon la méthode de tirage — par extrémités, par rayon, ou par milieu. Il n'y a pas de contradiction : ce sont trois espaces probabilisés DIFFÉRENTS. Préciser la mesure fait partie de l'énoncé.

3
L'espérance conditionnelle est un nombre.

Correction :

C'est une VARIABLE ALÉATOIRE, mesurable par rapport à la tribu conditionnante. Elle représente la meilleure prévision compte tenu de l'information disponible, et cette prévision dépend de ce qui sera observé. Elle n'est d'ailleurs définie qu'à un ensemble négligeable près.

4
On peut gagner à coup sûr en doublant la mise après chaque perte.

Correction :

Elle exige une fortune non bornée. Le théorème d'arrêt s'applique aux temps d'arrêt bornés ou aux martingales uniformément intégrables ; la stratégie de la martingale viole cette condition. Avec une fortune finie, l'espérance de gain reste nulle et la probabilité de ruine est strictement positive.

Glossaire des Notations Mathématiques

probabilité

MESURE de masse totale $1$ ; tous les théorèmes de la mesure s'appliquent

filtration

suite croissante de tribus modélisant l'accumulation d'information

espérance conditionnelle

VARIABLE ALÉATOIRE, non un nombre ; projection orthogonale dans $L^{2}$