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Géométrie projective

Espace projectif, coordonnées homogènes, dualité, birapport, homographies et coniques

Point d'entrée intuitif

Pourquoi ajouter des points « à l'infini » simplifie-t-il radicalement la géométrie — au point que deux droites se coupent TOUJOURS et que l'ellipse, la parabole et l'hyperbole deviennent un seul objet ?

Idée en une phrase :
Un point projectif est une DROITE VECTORIELLE : les parallèles, ayant la même direction, se rencontrent donc naturellement au point correspondant à cette direction.
Généalogie historique du concept :

Desargues publie en 1639 un traité sur les coniques introduisant les points à l'infini, inspiré par la perspective des peintres de la Renaissance — l'ouvrage est incompris et oublié pendant deux siècles. Poncelet redécouvre la discipline en 1822, dans un traité rédigé en captivité en Russie. Möbius introduit en 1827 les coordonnées homogènes, qui rendent tout calculable. Klein donne en 1872 le programme d'Erlangen : une géométrie EST l'étude des invariants d'un groupe de transformations, et la projective est celle du groupe projectif linéaire.

Pourquoi CETTE définition formelle :

Pourquoi définir un point comme une DROITE vectorielle plutôt que d'ajouter des points à l'infini de manière ad hoc ? Parce que la définition par quotient traite tous les points de la même façon : aucun n'est privilégié, et l'infini n'est infini que relativement à un choix de carte affine. Cette homogénéité est exactement ce qui produit la dualité et l'uniformité des énoncés.

Images Mentales & Modèles d'Intuition (3)

Modèle #1

Un point projectif est une direction de vue : deux points de l'espace vus depuis l'origine sont identifiés s'ils sont alignés avec elle.

Ce qu'elle capture :

C'est la perspective des peintres : le plan projectif est l'ensemble des rayons visuels, et les parallèles convergent au point de fuite.

⚠️ Où l'analogie ment :

L'image suggère qu'on peut toujours distinguer un « vrai » plan et un infini ajouté. Faux : le choix de la droite à l'infini est ARBITRAIRE, et une homographie peut envoyer n'importe quelle droite à l'infini.

Modèle #2

La dualité échange points et droites : tout énoncé reste vrai en permutant les deux mots.

Ce qu'elle capture :

Deux points déterminent une droite, deux droites déterminent un point : les énoncés vont par paires, et démontrer l'un donne l'autre gratuitement.

⚠️ Où l'analogie ment :

L'image ne dit pas que la dualité échange aussi les rôles dans les configurations : le théorème de Desargues est autodual, mais celui de Pascal a pour dual celui de Brianchon, énoncé d'apparence très différente.

Modèle #3

Le birapport est ce qui survit à la perspective : quatre points alignés le conservent quelle que soit la projection.

Ce qu'elle capture :

Longueurs et rapports simples se déforment, mais ce rapport de rapports reste invariant : c'est l'invariant fondamental de la géométrie projective.

⚠️ Où l'analogie ment :

L'image ne dit pas que c'est le SEUL invariant : toute quantité conservée par toutes les homographies est fonction du birapport. Cette unicité est ce qui en fait l'outil universel.

Les Pièges Conceptuels Classiques

1
Les points à l'infini sont des points fictifs ajoutés artificiellement.

Correction :

Aucun point n'est privilégié : tous sont des droites vectorielles, et « être à l'infini » dépend entièrement de la carte affine choisie. Une homographie envoie n'importe quel point sur n'importe quel autre, y compris un point à l'infini sur un point ordinaire. L'infini est relatif, jamais intrinsèque.

2
Le plan projectif réel est orientable comme le plan.

Correction :

Il est NON ORIENTABLE : il contient un ruban de Möbius. On l'obtient en recollant les points antipodaux d'une sphère, ou un disque et un ruban de Möbius le long de leur bord. Il ne peut d'ailleurs pas être plongé dans l'espace de dimension trois sans auto-intersection.

3
Ellipse, parabole et hyperbole sont trois objets distincts.

Correction :

En géométrie projective complexe, toutes les coniques non dégénérées sont ÉQUIVALENTES : une homographie transforme l'une en l'autre. La distinction affine vient uniquement de la position relative de la conique et de la droite à l'infini — l'ellipse ne la coupe pas, la parabole y est tangente, l'hyperbole la coupe en deux points.

4
Le birapport est une longueur ou un rapport de longueurs.

Correction :

C'est un rapport de RAPPORTS, et c'est précisément ce qui le rend invariant : les longueurs sont détruites par la perspective, les rapports simples aussi, mais le rapport de deux rapports survit. C'est le seul invariant projectif de quatre points alignés.

Glossaire des Notations Mathématiques

coordonnées homogènes

définies à un facteur non nul près ; aucun point n'est privilégié

groupe projectif linéaire

quotient du groupe linéaire par les homothéties ; c'est le groupe de la géométrie projective

birapport

rapport de RAPPORTS ; seul invariant projectif de quatre points alignés