Mathématiques Série A4

• Session 2024 (2nd tour)

Soit P la fonction polynôme définie sur $\mathbb{R}$ par $2x^3+3x^2-11x-6.$

1. Montrer que $P(x)=(2x+1)\left(x^2+x-6\right).$

2. Résoudre, dans $\mathbb{R}$, l'équation $x^2+x-6=0.$

3. En déduire les solutions de l'équation $P(x)=0.$

Soit la fonction numérique $f$, de la variable réelle $x$, définie dans ${\mathbb{R}}^{\star }$ par

On désigne par $({\mathcal{C}}_f)$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un plan muni d'un repère orthonormé $(O;\vec{ı},\vec{ȷ})$. Unité graphique : 1 cm.

1. Écrire l'ensemble de définition de $f$ sous forme de réunions d'intervalles.

2. Écrire $f(x)$ sous la forme : $\frac{x-1}{x}=1+\frac{a}{x}$ où $a$ est un réel que l'on déterminera.

3. Étudier la limite de $f$ en $-\infty$ et en $0$ à gauche et à droite.

4. Trouver la fonction dérivée $f^{\prime }$ de $f$.

5. Préciser le signe de $f^{\prime }(x)$ pour tout $x\in {\mathbb{R}}^{\star }.$

6. Dresser le tableau de variation de $f$. On donne $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=1.$

7. Représenter dans un plan muni du repère $(O;\vec{ı},\vec{ȷ})$ la courbe $({\mathcal{C}}_f)$ et la droite asymptote horizontale d'équation $y=1.$