Mathématiques Série A4

• Session 2026 (2nd tour)

EXERCICE

1. On donne le polynôme $p(x)=-2x^3+9x^2-7x-6$.

En considérant $x_0=2$, une solution évidente de l'équation $p(x)=0$, déterminer les réels $a$ et $b$ tels que $p(x)=(x-2)(a{x}^2+5x+b)$.

1. Considérons $a=-2$ et $b=3$.

   a. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $-2x^2+5x+3=0$.

   b. En déduire les solutions de l'équation $p(x)=0$ dans $\mathbb{R}$.

PROBLÈME

Soit la fonction numérique $f$ de la variable réelle $x$ définie dans ${\mathbb{R}}^{\ast }$ par : $f(x)=\frac{x-1}{x}$

On désigne par $({\mathcal{C}}_f)$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un plan muni d'un repère orthonormé $(O;\vec{i};\vec{j})$. Unité graphique : 1 cm.

1. a. Écrire l'ensemble de définition sous forme de réunion d'intervalles.

   b. Écrire $f(x)$ sous forme : $\frac{x-1}{x}=1+\frac{a}{x}$ où $a$ est un réel que l'on déterminera.

   c. Étudier la limite de $f$ en $-\infty$ et en $0$ à gauche et à droite.

2. a. Trouver la fonction dérivée $f^{\prime }$ de $f$.

   b. Préciser le signe de $f^{\prime }(x)$ pour tout $x\in {\mathbb{R}}^{\ast }$.

   c. Dresser le tableau de variation de $f$. On donne $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=1$.

3. Représenter dans le plan muni du repère $(O;\vec{i};\vec{j})$ la courbe $({\mathcal{C}}_f)$ et l'asymptote horizontale d'équation $y=1$.