Mathématiques Série A4

• Session 2024 (1er tour)

1. Résoudre dans $\mathbb{R}$, les équations suivantes :

2. $x^2-4x+3=0$

3. $\ln x=4$

4. $\ln (e^{2}x)=0$

5. Soit le polynôme $P$ défini par : $P(x)=(x-2)(x^2-4x+3).$

Vérifier que $P(x)=x^3-6x^2+11x-6$

1. On considère l'équation (E) : $x\in \mathbb{R}$, ${\left(\ln x\right)}^3-6{\left(\ln x\right)}^2+11\ln x-6=0.$

À l'aide des résultats des questions 1 et 2, résoudre l'équation (E).

Partie A

On donne dans $\mathbb{R}$, le polynôme $Q(x)=-x^2+2x$.

1. Calculer $Q(0)$ et $Q(2)$.

2. Justifier que :

• pour tout nombre réel $x\in ]-\infty ;0[\cup ]2;+\infty [$, $Q(x)<0$;

• pour tout nombre réel $x\in ]0;2[$, $Q(x)$

0$$.

Partie B

On donne la fonction $f$ définie de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ par $f(x)=\frac{-x^2+5x-5}{x-1}$.

$(\mathcal{C})$ désigne sa représentation graphique dans le plan muni du repère orthonormé $(O,I,J)$. L'unité graphique est le centimètre.

1. Déterminer l'ensemble de définition $D_f$ de la fonction $f$.

3. Calculer $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)$.

4. Calculer $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f(x)$ et $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f(x)$.

5. Justifier que la droite $(\Delta )$ d'équation $x=1$ est une asymptote à $(\mathcal{C})$.

7. Justifier que pour tout nombre réel $x\in \mathbb{R}-\{1\}$, $f(x)=-x+4-\frac{1}{x-1}$.

8. Démontrer que la droite $(D)$ d'équation $y=-x+4$ est une asymptote à $(\mathcal{C})$ en $-\infty$ et en $+\infty$.

9. Vérifier que $(\mathcal{C})$ est au-dessus de $(D)$ sur $]-\infty ;1[$ et en dessous de $(D)$ sur $]1;+\infty [$.

11. Démontrer que pour tout nombre réel $x\in \mathbb{R}-\{1\}$, $f^{\prime }(x)=\frac{Q(x)}{(x-1{)}^2}.$

12. Déduire de la Partie A, le signe de $f^{\prime }(x)$ suivant les valeurs de $x$.

13. Dresser le tableau de variation de $f$ sur $D_f.$

14. Démontrer que le point de coordonnées $(1;3)$ est un centre de symétrie de la courbe $(\mathcal{C})$.